MINT lernen

Punkt, Strecke, Gerade

Hütten im Zeltlager und Sterne am Himmel: Wer Strecken und Geraden sauber auseinanderhält, zählt richtig — auch wenn Punkte auf einer Linie liegen.

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Wege im Zeltlager

AFB I–II

Im Zeltlager stehen vier Hütten A, B, C und D. Die Hütten A, B und C liegen an einem geraden Uferweg, B liegt zwischen A und C. Hütte D steht abseits auf dem Hügel. Die Betreuer wollen zwischen je zwei Hütten eine gerade Leine für Lichterketten spannen.

Lageplan des Zeltlagers
SeeABCD
A, B und C liegen am geraden Uferweg, B zwischen A und C. Nicht maßstabsgetreu.
  1. Nenne alle Leinen als Strecken in der richtigen Schreibweise und gib an, wie viele es sind.
  2. Berechne die Länge der Leine von A nach C, wenn AB = 35 m und BC = 48 m sind.
  3. Begründe: Mia sagt, für die 6 Leinen braucht man 6 verschiedene gerade Linien auf dem Plan. Tatsächlich liegen alle Leinen auf nur 4 verschiedenen Geraden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Jede Hütte wird mit jeder anderen verbunden. Schreibe die Strecken mit Strich über den beiden Buchstaben.
Hinweis zu Aufgabe b)
B liegt zwischen A und C auf einer Geraden. Wie setzt sich die Strecke AC zusammen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Leinen liegen auf dem Uferweg? Wie viele Geraden gehen durch D?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

AB, AC, AD, BC, BD, CD — das sind 6 Leinen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Weil B zwischen A und C auf einer Geraden liegt, gilt AC = AB + BC = 35 m + 48 m = 83 m. Die Leine von A nach C ist 83 m lang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Leinen AB, BC und AC liegen alle auf dem Uferweg, also auf derselben Geraden. Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade, und A, B, C liegen auf einer Linie. Dazu kommen die Geraden AD, BD und CD. Zusammen sind es 1 + 3 = 4 verschiedene Geraden:

ABCD
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In der Sternwarte

AFB II–III

Bei einem Besuch in der Sternwarte erfindet eure Klasse ein eigenes Sternbild mit sechs Sternen: Q, R, T, X, Y und M. Die vier Sterne Q, R, T und X liegen genau auf einer Linie. Auf der Karte wollt ihr die Sterne mit Linien verbinden. Die Leiterin der Sternwarte erklärt: „Das Licht eines Sterns läuft von ihm aus immer weiter geradeaus durchs Weltall.“

Sternkarte „Der Drache“
QRTXYM
Ausgedachtes Sternbild. Q, R, T und X liegen genau auf einer Linie.
  1. Erläutere, ob das Licht eines Sterns in diesem Modell eher eine Strecke, eine Halbgerade oder eine Gerade ist.
  2. Ermittle, wie viele Strecken man zwischen den sechs Sternen zeichnen kann, wenn jeder Stern mit jedem verbunden wird.
  3. Untersuche, wie viele verschiedene Geraden durch je zwei der Sterne gehen. Beachte, dass Q, R, T und X auf einer Linie liegen.
  4. Nimm Stellung zu Toms Behauptung: „Wenn wir 12 statt 6 Sterne nehmen, gibt es doppelt so viele Strecken.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wo beginnt das Licht? Hört es irgendwo auf?
Hinweis zu Aufgabe b)
Beginne mit einem Stern: Mit wie vielen anderen wird er verbunden? Achte darauf, keine Strecke doppelt zu zählen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Alle Verbindungen zwischen Q, R, T und X liegen auf derselben Geraden. Zähle diese Gerade nur einmal.
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechne die Anzahl der Strecken für 12 Sterne aus (Muster: jeder neue Stern bringt so viele neue Strecken, wie schon Sterne da sind).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das Licht hat einen Anfangspunkt (den Stern) und läuft von dort in eine Richtung ohne Ende weiter. Das passt zu einer Halbgeraden. Eine Strecke wäre es nur mit einem Endpunkt, eine Gerade hätte keinen Anfangspunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der erste Stern wird mit 5 anderen verbunden, der zweite noch mit 4 neuen, dann 3, 2, 1: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Strecken. (Oder: 6 · 5 = 30, jede Strecke doppelt gezählt, also 30 : 2 = 15.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ohne die besondere Lage wären es 15 Geraden. Zwischen Q, R, T und X gibt es 6 Strecken (QR, QT, QX, RT, RX, TX), die aber alle auf einer einzigen Geraden liegen. Also 15 − 6 + 1 = 10 verschiedene Geraden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für 12 Sterne: 11 + 10 + 9 + … + 1 = 66 Strecken. Doppelt so viele wie bei 6 Sternen wären 30. Tom hat also nicht recht: Mit jedem neuen Stern kommen immer mehr neue Strecken dazu, weil er mit allen vorhandenen verbunden wird. Die Anzahl wächst viel schneller als die Zahl der Sterne.