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Übungsaufgaben
Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Radius und Durchmesser — in anderen Einheiten
AFB ILinks steht jeweils ein Radius oder ein Durchmesser. Verbinde mit der passenden Angabe desselben Kreises rechts. Achtung: Die Einheiten wechseln.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zwei Fehler passieren hier am häufigsten: beim Durchmesser verdoppeln statt halbieren (d = 3 cm → „r = 6 cm“) und die Einheit vergessen (r = 7 mm → d = 14 mm = 1,4 cm). Ein sicherer Weg: erst in dieselbe Einheit umrechnen, dann mit d = 2 · r prüfen, ob der Durchmesser die größere Zahl ist.
Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius: d = 2 · r. Gegeben d? Dann halbieren.
Rechne mm in cm um: 10 mm = 1 cm. 1 m = 100 cm. Zum Beispiel: r = 45 mm = 4,5 cm, also d = 9 cm.
A2
Radius, Durchmesser — oder keins von beiden?
AFB IIm Kreis um M sind vier Strecken eingezeichnet. Nicht jede Strecke im Kreis ist ein Radius oder ein Durchmesser. Klicke die gesuchte Strecke an.
Klicke das gesuchte Element in der Zeichnung an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Ein Radius braucht zwei Dinge: Er beginnt in M und endet auf der Kreislinie. Strecke d beginnt zwar in M, endet aber schon im Inneren — sie ist kürzer als r und daher kein Radius. Ein Durchmesser verbindet zwei Punkte der Kreislinie durch M. Strecke c verbindet auch zwei Punkte der Kreislinie, geht aber an M vorbei — sie ist kürzer als der Durchmesser.
Prüfe bei jeder Strecke: Wo beginnt sie, wo endet sie — in M, auf der Kreislinie oder irgendwo im Inneren?
Der Durchmesser ist die einzige Strecke von Kreislinie zu Kreislinie, die durch M geht.
A3
Zirkel-Pannen im Heft
AFB IBen hat aufgeschrieben, wie er seine Kreise gezeichnet hat. Drei seiner Sätze beschreiben einen Fehler. Finde sie.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Fehler aus Satz 1 kostet in Klassenarbeiten die meisten Punkte: Der Zirkel misst immer den Radius — ist der Durchmesser gegeben, wird erst halbiert. Und eine Lücke in der Kreislinie ist kein Zeichenfehler, den man „reparieren“ kann: Sie zeigt, dass sich die Öffnung verstellt hat — mit dem Lineal entsteht dann kein Kreis.
Denke an die drei Regeln: Zirkel auf den Radius öffnen, genau in M einstechen, die Öffnung beim Drehen nicht verstellen.
Unterscheide Kreislinie und Kreisfläche: Welche Punkte haben genau den Abstand r von M?
A4
Drinnen, drauf oder draußen?
AFB IIGegeben ist ein Kreis um M mit dem Radius r = 2,5 cm. Wo liegt jeder Punkt — innerhalb des Kreises, genau auf der Kreislinie oder außerhalb?
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1innerhalb
2auf der Kreislinie
3außerhalb
Vergleiche immer den Abstand zu M mit r = 2,5 cm = 25 mm. Die Falle ist U: 5 cm ist der Durchmesser, aber gemessen wird von M aus — und 5 cm ist doppelt so weit wie r, also außerhalb. Bei V entscheidet ein einziger Millimeter. Und Q: Der Endpunkt des Durchmessers liegt 2,5 cm von M entfernt; 1 cm davon in Richtung M bleiben 1,5 cm — innerhalb.
Rechne jeden Abstand in mm um und vergleiche mit r = 25 mm: kleiner → innen, gleich → auf der Linie, größer → außen.
Ein halber Durchmesser ist genau der Radius. Die Endpunkte eines Durchmessers liegen auf der Kreislinie.
A5
Trickaufgabe: Kekse in der Dose
AFB IIIn eine rechteckige Keksdose passen genau drei gleich große, runde Kekse nebeneinander. Sie berühren sich gegenseitig und die Wände. Die Dose ist innen 27 cm lang und 9 cm breit. Wie groß ist der Radius eines Kekses?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
cm
Drei Kekse füllen die Länge: 27 cm : 3 = 9 cm. Das ist aber der Durchmesser — er passt auch genau in die Breite von 9 cm. Der Radius ist halb so lang: r = 9 cm : 2 = 4,5 cm. Wer 9 cm einträgt, hat richtig gerechnet, aber die falsche Größe angegeben — das ist der häufigste Fehler bei dieser Aufgabe.
Welche Strecke eines Kekses passt genau in die Breite der Dose — der Radius oder der Durchmesser?
Erst den Durchmesser bestimmen (27 cm : 3), dann halbieren.
A6
Magnete in einer Reihe
AFB IIAn der Tafel liegen sechs gleiche runde Magnete in einer geraden Reihe. Jeder Magnet berührt den nächsten. Der Radius eines Magneten ist 1,5 cm.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Durchmesser eines Magneten: cm
- Länge der ganzen Reihe von außen nach außen: cm
- Abstand vom Mittelpunkt des ersten bis zum Mittelpunkt des letzten Magneten: cm
- Wie viele solche Magnete passen höchstens in eine Reihe auf einer 50 cm langen Tafelleiste? Stück
Schritt 3 ist die Denkfalle: Von Mittelpunkt zu Mittelpunkt fehlen am Anfang und am Ende je ein Radius — 18 cm − 1,5 cm − 1,5 cm = 15 cm. Genauso gut: Zwischen sechs Mittelpunkten liegen fünf Abstände von je 3 cm. In Schritt 4 ergibt 50 : 3 etwa 16,7 — ein angefangener Magnet passt nicht auf die Leiste, also 16 Stück.
Aneinanderliegende Kreise: Die Länge der Reihe ist Anzahl · Durchmesser. Der Abstand zweier benachbarter Mittelpunkte ist ein Durchmesser.
Bei sechs Magneten gibt es nur fünf Abstände zwischen den Mittelpunkten. In Schritt 4: 16 · 3 cm = 48 cm, 17 · 3 cm = 51 cm.
A7
Rückblick: Kreis oder Parallelen?
AFB IIVergleiche zwei Punktmengen: alle Punkte, die von einem Punkt M genau 2 cm entfernt sind — und alle Punkte, die von einer Geraden g genau 2 cm entfernt sind (wie beim Abstand messen). Wohin gehört jede Aussage?
Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Punkte mit 2 cm Abstand zu M
2 bei beiden
3 nur Punkte mit 2 cm Abstand zu g
Beide Punktmengen entstehen aus derselben Idee — „alle Punkte mit gleichem Abstand“. Beim Punkt M ergibt das einen Kreis mit r = 2 cm, bei der Geraden g zwei Parallelen, eine auf jeder Seite. Häufiger Fehler: Bei g nur an eine Parallele denken. Und: Beim Kreis misst man einfach von M aus, bei g immer senkrecht zu g.
Zeichne beide Situationen: einen Punkt M mit allen Punkten im Abstand 2 cm — und eine Gerade g mit allen Punkten im Abstand 2 cm.
Der Kreis ist geschlossen und hat einen Mittelpunkt. Bei der Geraden entstehen zwei Parallelen — die haben kein Ende.
A8
Wie oft schneiden sich zwei Kreise?
AFB IIIUm die Punkte A und B wird je ein Kreis gezeichnet. Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Kreislinien? Überlege, ohne zu zeichnen — oder skizziere auf einer Linie.
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.
| Kreis um A · Kreis um B · Abstand AB | kein Schnittpunkt | genau 1 | genau 2 |
|---|---|---|---|
| r = 3 cm · r = 3 cm · AB = 4 cm | |||
| r = 3 cm · r = 3 cm · AB = 6 cm | |||
| r = 3 cm · r = 3 cm · AB = 7 cm | |||
| r = 2 cm · r = 5 cm · AB = 1 cm | |||
| r = 2 cm · r = 5 cm · AB = 3 cm |
Vergleiche den Abstand AB mit der Summe der Radien: Ist AB kleiner, überlappen sich die Kreise (2 Schnittpunkte), ist AB genau gleich, berühren sie sich (1), ist AB größer, liegen sie getrennt (0). Die Falle stecken in den letzten beiden Zeilen: Der kleine Kreis kann auch im großen liegen. Bei AB = 1 cm reicht der kleine Kreis nur bis 1 + 2 = 3 cm von B — die große Kreislinie ist 5 cm entfernt, kein Schnittpunkt. Bei AB = 3 cm reicht er genau bis 3 + 2 = 5 cm und berührt sie von innen.
Lege A und B auf eine Linie und zeichne die Radien entlang dieser Linie ein: Reichen die Kreise bis zueinander, genau bis aneinander oder nicht?
Bei den letzten zwei Zeilen liegt A innerhalb des großen Kreises um B. Wie weit von B entfernt ist der Punkt des kleinen Kreises, der am weitesten außen liegt?
A9
Wie viele Kreise passen hinein?
AFB IIIGleich große Kreise werden in ein Rechteck gelegt — in geraden Reihen, ohne Überlappen, nicht versetzt. Ergänze die Tabelle.
Fülle alle Felder aus — Enter oder „Prüfen“ kontrolliert die ganze Tabelle.
| Rechteck | Kreise | pro Reihe | Reihen | insgesamt |
|---|---|---|---|---|
| 20 cm × 10 cm | r = 5 cm | |||
| 20 cm × 10 cm | d = 5 cm | |||
| 25 cm × 10 cm | r = 2 cm |
Zuerst immer den Durchmesser bestimmen — er ist der Platz, den ein Kreis in jeder Richtung braucht. In Zeile 1 und 2 steht dasselbe Rechteck, aber einmal r = 5 cm und einmal d = 5 cm: 2 Kreise gegen 8 Kreise! In Zeile 3 ist d = 4 cm: 25 : 4 = 6 Rest 1 und 10 : 4 = 2 Rest 2 — angefangene Kreise passen nicht hinein, darum wird abgerundet.
Bestimme zuerst den Durchmesser. Wie oft passt er in die Länge, wie oft in die Breite?
Rest bedeutet: Dieser Kreis passt nicht mehr ganz hinein. Insgesamt = pro Reihe · Reihen.
A10
Was passiert, wenn …?
AFB IIIBei jedem Kreis oder jeder Kreisreihe wird etwas verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit der genannten Größe passiert — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird halb so groß, 2 = wird kleiner, aber nicht halb so groß, 3 = bleibt gleich, 4 = wird doppelt so groß, 5 = wird mehr als doppelt so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird halb so groß5 = wird mehr als doppelt so groß
Der Radius eines Kreises wird verdoppelt. → der Durchmesser
Ein Punkt wandert auf der Kreislinie einmal ganz herum. → sein Abstand zu M
Der Zirkel wird von 5 cm auf 4 cm Öffnung zugedreht. → der Durchmesser
Statt zehn großer Münzen legt man zehn Münzen mit halb so großem Durchmesser in eine Reihe. → die Länge der Reihe
Eine Reihe gleicher, sich berührender Kreise wird von 10 cm auf 30 cm verlängert. → die Anzahl der Kreise
Alles hängt an d = 2 · r: Was mit dem Radius passiert, passiert genauso mit dem Durchmesser. 5 cm → 4 cm ist kleiner, aber längst nicht halb so groß. Und eine dreimal so lange Reihe fasst dreimal so viele Kreise — das ist mehr als doppelt. Wer rechnet, braucht länger als jemand, der sich die Veränderung vorstellt.
Stell dir jede Veränderung als Bild vor. Hilfreich: d = 2 · r und „Länge der Reihe = Anzahl · Durchmesser“.
Stufe 5 bedeutet: mehr als doppelt — zum Beispiel dreimal so viel.