MINT lernen

Kreise zeichnen

Kein Zirkel ist groß genug für den Schulhof — und wie weit spritzt eigentlich der Rasensprenger?

1

Ein Riesenkreis auf dem Schulhof

AFB I–II

Die Klasse 5b möchte für ein Spiel einen großen Kreis mit Kreide auf den Schulhof malen. Einen so großen Zirkel gibt es nicht. Mia hält deshalb das eine Ende eines 3 m langen Seils fest auf einen Punkt M gedrückt. Jonas nimmt das andere Ende, spannt das Seil und läuft mit einem Stück Kreide einmal um Mia herum.

Ein Kreis mit Seil und Kreide
MKreideSeil 3 m
Mia hält das Seilende in M fest, Jonas läuft mit dem gespannten Seil und der Kreide herum. Ein Teil der Kreislinie ist schon gezeichnet.
  1. Gib den Radius und den Durchmesser des Kreises an.
  2. Erkläre, warum das Seil beim Laufen immer gespannt sein muss und Mia das Ende nicht verschieben darf.
  3. Beim Spiel „Plumpsack“ sollen alle Kinder genau auf der Kreislinie stehen. Lea steht 2,60 m von M entfernt, Tim 3 m und Ole 3,40 m. Beschreibe für jedes Kind, wo es steht und wie es sich bewegen muss.
  4. Die Klasse möchte um denselben Mittelpunkt einen zweiten Kreis mit dem Durchmesser 8 m zeichnen. Bestimme, wie lang das Seil dafür sein muss und wie breit der Ring zwischen den beiden Kreislinien wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Das Seil verbindet den Mittelpunkt mit der Kreislinie. Welche Strecke am Kreis ist das?
Hinweis zu Aufgabe b)
Denk an den Zirkel: Was passiert, wenn sich seine Öffnung beim Drehen verändert oder die Spitze verrutscht?
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche jeden Abstand zu M mit dem Radius 3 m.
Hinweis zu Aufgabe d)
Für das Seil brauchst du den Radius, nicht den Durchmesser. Der Ring liegt zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das Seil reicht von M bis zur Kreislinie, es ist also der Radius: r = 3 m. Durchmesser: d = 2 · r = 2 · 3 m = 6 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Seil und Mia übernehmen die Aufgabe des Zirkels: Mia ist die Zirkelspitze in M, das gespannte Seil hält die Öffnung r = 3 m fest. Nur dann hat jeder Kreidepunkt von M denselben Abstand 3 m, und die Linie wird ein Kreis. Hängt das Seil durch, ist der Abstand kleiner; verschiebt Mia das Ende, ändert sich der Mittelpunkt. In beiden Fällen schließt sich die Linie nicht sauber zu einem Kreis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Lea: 2,60 m < 3 m, sie steht innerhalb des Kreises und muss 40 cm nach außen gehen (von M weg).
Tim: genau 3 m, er steht auf der Kreislinie und bleibt stehen.
Ole: 3,40 m > 3 m, er steht außerhalb und muss 40 cm nach innen gehen (auf M zu).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

d = 8 m, also r = 8 m : 2 = 4 m — das Seil muss 4 m lang sein. Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt (konzentrische Kreise). Der Ring ist so breit wie der Unterschied der Radien: 4 m − 3 m = 1 m.

2

Der Rasensprenger

AFB II–III

Familie Öztürk hat einen Garten hinter dem Haus. Die Hauswand ist gerade. Ihr Rasensprenger dreht sich im Kreis und macht alles nass, was höchstens 5 m von ihm entfernt ist. Die Hauswand soll trocken bleiben. Im Garten liegt ein Gemüsebeet B, das 8 m von der Hauswand entfernt ist und gegossen werden soll. Sprenger und Beet stellen wir uns als Punkte vor.

Der Garten von Familie Öztürk
Hauswand8 mBeet B
Die Hauswand ist gerade. Das Beet B liegt 8 m von der Wand entfernt (senkrecht gemessen).
  1. Der Sprenger steht 3 m vor der Hauswand. Untersuche, ob die Hauswand nass wird.
  2. Ermittle, wie weit der Sprenger mindestens von der Hauswand entfernt stehen muss, damit sie trocken bleibt.
  3. Zeichne die Hauswand und das Beet im Maßstab 1 cm ≙ 1 m. Zeichne dann alle Stellen ein, an denen der Sprenger stehen darf, damit das Beet nass wird und die Hauswand trocken bleibt.
  4. Der Nachbar rät: „Stell den Sprenger 14 m vor die Hauswand, dann bist du auf der sicheren Seite.“ Beurteile diesen Rat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche den Abstand des Sprengers zur Wand mit der Reichweite 5 m.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei welchem Abstand berührt der Wasserkreis die Wand gerade eben?
Hinweis zu Aufgabe c)
Das Beet wird nass, wenn der Sprenger höchstens 5 m von B entfernt ist: Wo liegen diese Punkte? Die Wand bleibt trocken, wenn der Sprenger mehr als 5 m von ihr entfernt ist: Wo liegen diese Punkte?
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie weit ist ein Sprenger, der 14 m vor der Wand steht, mindestens vom Beet entfernt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Abstand des Sprengers zur Wand ist 3 m, die Reichweite 5 m. Weil 3 m < 5 m ist, reicht der Wasserkreis über die Wand hinaus: Die Hauswand wird nass (auf einem Stück von 8 m Breite).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Wasserkreis berührt die Wand genau dann, wenn der Abstand des Sprengers zur Wand gleich dem Radius 5 m ist. Damit die Wand trocken bleibt, muss der Sprenger mehr als 5 m (senkrecht gemessen) von der Wand entfernt stehen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Beet nass: Der Sprenger steht höchstens 5 m von B entfernt, also innerhalb des Kreises um B mit r = 5 cm (in der Zeichnung). Wand trocken: Der Sprenger steht mehr als 5 m von der Wand entfernt, also jenseits der Parallelen zur Wand im Abstand 5 cm. Erlaubt ist der Teil des Kreises um B, der hinter dieser Parallelen liegt:

HauswandAbstand 5 m5 merlaubtBeet B

Weil B 8 m von der Wand entfernt ist, ragt der Kreis um B bis 3 m an die Wand heran — der obere Teil ist deshalb verboten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Wand bliebe trocken (14 m > 5 m), aber das Beet liegt 8 m vor der Wand. Ein Sprenger 14 m vor der Wand ist von B mindestens 14 m − 8 m = 6 m entfernt — mehr als die Reichweite 5 m. Das Beet würde also nicht nass. Der Rat ist schlecht: „möglichst weit weg“ ist nicht automatisch richtig, der Sprenger muss im erlaubten Bereich aus c) stehen, z. B. 9 m vor der Wand direkt hinter dem Beet.