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Übungsaufgaben
Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welche Strecke zählt?
AFB IVon P aus führen vier Strecken zur schrägen Geraden g. Nur eine davon gibt den Abstand an. Beantworte die Fragen, indem du die passende Strecke anklickst.
Klicke das gesuchte Element in der Zeichnung an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Die Falle ist Strecke d: Sie zeigt „gerade nach unten“ und sieht deshalb senkrecht aus — senkrecht ist sie aber nur zum Bildrand. Für den Abstand zählt nur die Strecke, die mit g einen rechten Winkel bildet: b. Weil g schräg liegt, steht auch das Lot schräg. Je weiter der Endpunkt auf g vom Lotfußpunkt wegrückt, desto länger wird die Strecke — darum ist c am längsten.
Lege in Gedanken dein Geodreieck mit der Mittellinie auf g. Welche Strecke liegt dann genau an der langen Kante?
Senkrecht heißt immer: senkrecht zu g — nicht zum Heft- oder Bildrand. Eine der Strecken ist eine Falle, weil sie genau nach unten zeigt.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen über Abstände. Denk bei jeder kurz an eine Skizze, bevor du entscheidest.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Der rote Faden: Abstand bedeutet immer kürzester Weg — und der kürzeste Weg zu einer Geraden ist der senkrechte. Häufigster Fehler ist Aussage 4: Viele denken nur an eine Seite von g und vergessen die andere.
Zeichne dir zu jeder Aussage eine kleine Skizze: eine Gerade, einen Punkt, ein paar Strecken.
Bei Aussage 4 hilft die Frage: Gibt es auch unterhalb von g Punkte mit 2 cm Abstand?
A3
Welcher Abstand ist gemeint?
AFB IIm Alltag fragt man oft „Wie weit ist das weg?“. Entscheide, welche Art von Abstand jeweils gemessen wird.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Punkt – Punkt
2Punkt – Gerade
3zwei Parallelen
Achte auf die Wörter „Ufer“, „Linie“, „Kante“: Eine gerade Linie ist eine Gerade, dann misst du senkrecht zu ihr. Bei zwei geraden, gleich weit laufenden Linien (Schienen, Heftlinien, Radweg) ist es der Abstand zweier Parallelen — der ist überall gleich. Nur wenn zwei Punkte gemeint sind, ist der Abstand einfach die Länge der Strecke dazwischen. Typischer Fehler: den Radiergummi als „Punkt – Punkt“ einordnen — gemessen wird aber zur ganzen geraden Tischkante, also senkrecht zu ihr.
Frage dich jedes Mal: Wovon aus wird gemessen und wohin — zu einem Punkt oder zu einer ganzen geraden Linie?
Zwei gerade Linien, die immer gleich weit auseinander bleiben, sind Parallelen. Beispiele dafür stecken in drei Karten.
A4
Trickaufgabe: Abstand auf Karopapier
AFB IIDie Gerade g verläuft genau entlang der Kästchendiagonalen. R, S und T liegen auf g. Überlege, wo das Lot von P auf g verläuft — ohne es zu zeichnen.
Wähle in jedem Menü die passende Angabe und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Lot von P auf g verläuft .
Es trifft g im Punkt .
Das Lot ist lang.
Die Strecke von P nach R ist das Lot.
Die Falle: Beim Kästchenzählen gehen viele „4 Kästchen nach unten“ bis R. Diese Strecke steht aber senkrecht zum Heftrand, nicht zu g — und sie ist länger als das Lot. Weil g entlang der Diagonalen läuft, steht das Lot ebenfalls diagonal, nur in die andere Richtung: von P zwei Diagonalen schräg nach rechts unten bis S. Probe mit dem Geodreieck: Die Mittellinie auf g gelegt, liegt die lange Kante genau auf PS.
Die Kästchendiagonalen von links oben nach rechts unten stehen senkrecht auf den Diagonalen von links unten nach rechts oben.
Gehe von P aus Kästchen für Kästchen diagonal nach rechts unten, bis du auf g triffst. Wie viele Diagonalen sind das, und welcher Punkt ist es?
A5
Wer ist am nächsten an g?
AFB IIAuf dem Karopapier ist 1 Kästchen = 0,5 cm. Ordne die fünf Punkte nach ihrem Abstand zu g — kleinster Abstand oben.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Punkt D
2Punkt A
3Punkt C
4Punkt B
5Punkt E
D liegt auf g (0 cm), A ist 1 Kästchen entfernt (0,5 cm), C 2 Kästchen (1 cm), B 3 Kästchen (1,5 cm), E 5 Kästchen (2,5 cm). Zwei typische Fehler: Wer A weit unten einordnet, schaut darauf, wie weit A „rechts draußen“ liegt — das spielt keine Rolle, gezählt wird nur senkrecht zu g. Und C liegt zwar unterhalb von g, hat aber trotzdem einen ganz normalen Abstand: Abstände sind nie negativ.
Zähle bei jedem Punkt nur die Kästchen senkrecht bis zu g — wie weit er links oder rechts liegt, ist egal.
Auch Punkte unterhalb von g haben einen Abstand. Und ein Punkt auf g hat den Abstand 0 cm.
A6
Rückblick: parallel und senkrecht
AFB IIAbstände hängen eng mit „parallel“ und „senkrecht“ aus dem letzten Kapitel zusammen. Verbinde jeden Satzanfang mit dem passenden Ende.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Am häufigsten wird Satz 2 falsch verbunden: Zwei Lote stehen beide senkrecht auf g — und zwei Geraden, die auf derselben Geraden senkrecht stehen, sind zueinander parallel. Das kennst du vom Geodreieck: Mit seinen Parallel-Hilfslinien zeichnest du genau solche Linien. Bei Satz 3 wird gern nur „eine Parallele“ gewählt — es gibt aber auf jeder Seite von g eine.
Zeichne g waagerecht und zwei Lote von zwei verschiedenen Punkten oberhalb. Wie liegen die beiden Lote zueinander?
Ein Lot bildet mit g immer einen rechten Winkel. Punkte mit gleichem Abstand gibt es oberhalb und unterhalb von g.
A7
Im Linienheft
AFB IIIn Tims Heft sind die Linien parallel, benachbarte Linien haben den Abstand 8 mm. Die Linien sind von oben nach unten durchnummeriert: Linie 1, Linie 2, Linie 3, …
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Abstand von Linie 1 zu Linie 6: mm
- Derselbe Abstand in Zentimetern: cm
- Ein Punkt P liegt auf Linie 4. Abstand von P zu Linie 1: mm
- Ein Punkt Q liegt genau in der Mitte zwischen Linie 2 und Linie 3. Abstand von Q zu Linie 6: mm
Der Klassiker ist Schritt 1: Von Linie 1 bis Linie 6 sind es sechs Linien, aber nur fünf Zwischenräume — also 5 · 8 mm = 40 mm und nicht 48 mm. Genauso bei P: Von Linie 4 zu Linie 1 sind es 3 Zwischenräume, 24 mm. Q liegt 4 mm unter Linie 2, also 12 mm unter Linie 1; bis Linie 6 (40 mm) bleiben 28 mm. Weil die Linien parallel sind, ist es egal, an welcher Stelle der Zeile P oder Q sitzen.
Zähle die Zwischenräume, nicht die Linien. Zwischen Linie 1 und Linie 2 liegt ein Zwischenraum.
Lege alle Linien auf eine Messlatte: Linie 1 bei 0 mm, Linie 2 bei 8 mm, Linie 3 bei 16 mm … Dann kannst du jeden Abstand als Unterschied ablesen.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Sätze aus Mias Heft — drei davon sind falsch. Finde sie. Achtung: Einige richtige Sätze klingen ungewohnt.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Satz 3 und Satz 4 sehen fast gleich aus: Eine beliebige Strecke zu g ist nie kürzer als das Lot — also ist der Abstand höchstens so groß (Satz 3 stimmt), aber nicht unbedingt genau so groß (Satz 4 ist falsch). In Klassenarbeiten kommt am häufigsten der Fehler aus Satz 2 vor: beim Geodreieck an der Ecke statt an der 0 anzulegen.
Prüfe bei jedem Satz: Wurde senkrecht gemessen? Und folgt die Schlussfolgerung wirklich aus der Angabe?
Satz 3 und Satz 4 unterscheiden sich nur in einem Wort. Welches der beiden Wörter passt, wenn man nicht weiß, ob PQ senkrecht steht?
A9
Was folgt aus 3 cm?
AFB IIIDer Punkt P hat von der Geraden g den Abstand 3 cm. Welche Aussagen folgen daraus sicher?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Stell dir vor, du ziehst einen Punkt Q auf g vom Lotfußpunkt F nach links oder rechts: Die Strecke PQ wird immer länger — nie kürzer als 3 cm. 3 cm erreicht sie nur bei F. 5 cm erreicht sie zweimal: einmal links und einmal rechts von F. Wer „genau ein Punkt“ ankreuzt, denkt nur an eine Richtung. Verschiebst du P parallel zu g, bleibt es auf der Parallelen im Abstand 3 cm — der Abstand ändert sich nicht.
Stell dir einen Punkt Q vor, der auf g von F aus nach links oder nach rechts wandert. Wie verändert sich die Länge von PQ?
Die Länge PQ ist bei F am kleinsten. Links und rechts von F wächst sie gleich schnell — jede Länge über 3 cm kommt also zweimal vor.
A10
Knobelei: Zwischen zwei Parallelen
AFB IIIDie Geraden g und h sind parallel und haben den Abstand 3 cm. Gesucht sind alle Punkte Q, die von g genau 2 cm und von h genau 1 cm entfernt sind. Löse das Rätsel Schritt für Schritt.
Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch: Was gilt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Viele erwarten „genau einen Punkt“, weil Rätsel meist eine einzige Lösung haben. Hier ist die Lösung aber eine ganze Gerade: Die Parallele zwischen g und h, 2 cm von g und damit 1 cm von h entfernt. Der Trick ist, beide Seiten jeder Geraden zu untersuchen — und dann nachzurechnen, welche Parallelen zusammenfallen.
Zeichne g und h im Abstand 3 cm. Zeichne alle Parallelen im Abstand 2 cm zu g und alle Parallelen im Abstand 1 cm zu h ein.
Zwei der eingezeichneten Parallelen liegen genau aufeinander. Jeder Punkt darauf ist eine Lösung.