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Abstände messen

Wie weit ist gesprungen, wie weit ist es zur Straße? Wer schräg misst, bekommt die falsche Antwort.

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Weitsprung beim Sportfest

AFB I–II

Beim Sportfest springt Lena in die Sandgrube. Gemessen wird von der Absprunglinie — der geraden Kante des Absprungbalkens — bis zur hintersten Spur, die Lena im Sand hinterlassen hat (Punkt L). Drei Helfer halten ihr Maßband unterschiedlich an und lesen 3,20 m, 3,05 m und 3,40 m ab.

Drei Maßbänder für einen Sprung
BalkenAbsprungliniea: 3,20 mb: 3,05 mc: 3,40 mL
L ist Lenas hinterste Spur im Sand. Die Maßbänder a, b und c führen von L zu drei verschiedenen Stellen der Absprunglinie.
  1. Gib an, welches Maßband Lenas gültige Weite zeigt, und nenne die Weite.
  2. Begründe, warum beim Weitsprung senkrecht zur Absprunglinie gemessen werden muss.
  3. Jonas’ hinterste Spur liegt 2,90 m hinter der Absprunglinie, aber ganz am Rand der Grube. Ein Helfer spannt das Maßband schräg zur Mitte des Balkens und liest 3,10 m ab. Jonas jubelt: „Ich bin weiter gesprungen als Lena!“ Überprüfe seine Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die gültige Weite ist der Abstand von L zur Absprunglinie. Welches Band bildet mit der Linie einen rechten Winkel?
Hinweis zu Aufgabe b)
Denk daran, was „Abstand“ bedeutet — und was passieren würde, wenn jeder Helfer schräg messen dürfte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche nicht 3,10 m mit 3,05 m. Welche Zahl ist bei Jonas wirklich der Abstand zur Absprunglinie?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Maßband b steht senkrecht auf der Absprunglinie. Lenas Weite ist der Abstand von L zur Absprunglinie: 3,05 m. Die Bänder a und c liegen schräg und sind deshalb länger.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Weite ist der Abstand der Spur L von der Absprunglinie, also die Länge der kürzesten Verbindung. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Linie. Jede schräge Messung ist länger — je schräger, desto länger. Würde schräg gemessen, bekämen Springer mit der gleichen Leistung verschiedene Weiten, je nachdem wohin das Band gespannt wird. Nur die senkrechte Messung ist eindeutig und gerecht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die 3,10 m sind schräg gemessen und damit nicht der Abstand. Jonas’ Abstand zur Absprunglinie beträgt 2,90 m. Vergleich: 2,90 m < 3,05 m. Lena ist also 15 cm weiter gesprungen, Jonas’ Aussage ist falsch. Richtig wäre es gewesen, das Band von seiner Spur aus senkrecht zur Absprunglinie zu spannen.

2

Ein Sandkasten für die Wiese

AFB II–III

Zwischen einer geraden Hauptstraße und einer geraden Bahnlinie liegt eine Wiese. Straßenrand und Bahnlinie sind parallel und haben den Abstand 60 m. Die Gemeinde möchte auf der Wiese einen Sandkasten aufstellen. Die Vorschrift lautet: Der Sandkasten muss mindestens 20 m von der Straße und mindestens 25 m von der Bahnlinie entfernt sein. Den Sandkasten stellen wir uns als Punkt vor.

Die Wiese zwischen Straße und Bahnlinie
HauptstraßeBahnlinie60 m
Straßenrand und Bahnlinie sind parallele Geraden. Die Wiese liegt dazwischen.
  1. Zeichne Straße und Bahnlinie im Maßstab 1 cm ≙ 10 m in dein Heft. Zeichne alle Stellen der Wiese ein, die von der Straße genau 20 m entfernt sind.
  2. Ermittle, wie breit der Streifen ist, in dem der Sandkasten stehen darf. Markiere ihn in deiner Zeichnung.
  3. Tom steht an einer Stelle S, spannt ein Maßband schräg über die Wiese bis zur Straße und liest 22 m ab. Er sagt: „Mehr als 20 m — hier darf der Sandkasten hin!“ Beurteile Toms Vorgehen.
  4. Die Gemeinde überlegt, die Vorschrift zu ändern: „mindestens 30 m von der Straße und mindestens 30 m von der Bahnlinie“. Entscheide, ob dann noch ein Sandkasten möglich ist, und gib gegebenenfalls an, wo.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
60 m sind im Plan 6 cm. Alle Punkte mit gleichem Abstand zu einer Geraden liegen auf Parallelen — wie viele davon liegen auf der Wiese?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zeichne auch die Parallele im Abstand 25 m zur Bahnlinie ein. Der erlaubte Streifen liegt zwischen den beiden neuen Linien.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ist die Strecke, die Tom gemessen hat, senkrecht zur Straße? Was weißt du über schräge Strecken im Vergleich zum Abstand?
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechne 30 m + 30 m und vergleiche mit dem Abstand von Straße und Bahnlinie.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Im Plan liegen Straße und Bahnlinie 6 cm auseinander (parallel). Alle Punkte mit 20 m Abstand zur Straße liegen auf zwei Parallelen zur Straße im Abstand 2 cm. Eine davon liegt jenseits der Straße, also nicht auf der Wiese. Auf der Wiese liegen die gesuchten Stellen auf einer Parallelen: 2 cm unterhalb der Straße (senkrecht gemessen, mit dem Geodreieck).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Sandkasten braucht mindestens 20 m Abstand zur Straße und mindestens 25 m zur Bahnlinie. Erlaubt ist der Streifen zwischen der Parallelen 20 m unter der Straße und der Parallelen 25 m über der Bahnlinie:

60 m − 20 m − 25 m = 15 m.

HauptstraßeBahnlinie60 m20 m25 merlaubt: 15 m breit

Der Streifen ist 15 m breit (im Plan 1,5 cm) und verläuft parallel zu Straße und Bahnlinie.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Toms Maßband liegt schräg. Eine schräge Strecke zur Straße ist immer länger als der Abstand. Der Abstand von S zur Straße ist also höchstens 22 m — er kann aber auch kleiner als 20 m sein, zum Beispiel 18 m. Toms Messung beweist deshalb nicht, dass die Vorschrift eingehalten ist. Er muss senkrecht zur Straße messen und zusätzlich den Abstand zur Bahnlinie prüfen (mindestens 25 m).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

30 m + 30 m = 60 m, das ist genau der Abstand von Straße und Bahnlinie. Es bleibt kein Streifen mehr übrig, sondern nur noch die Parallele genau in der Mitte zwischen Straße und Bahnlinie (30 m von beiden entfernt). Der Sandkasten wäre also noch möglich — aber nur genau auf dieser Mittellinie. Weil ein echter Sandkasten eine Breite hat, würde er in Wirklichkeit nicht mehr passen; die Gemeinde sollte die Vorschrift so nicht beschließen.