Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur ablesen: Aussagen widerlegen, Diagramme bewerten, Erhebungen planen und Fehler finden. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst — und Vorsicht: Eine Aufgabe ist eine Trickaufgabe.
Nach dem Sponsorenlauf hängt dieses Diagramm im Flur. Tim sagt: „Die 5b ist doppelt so viele Runden gelaufen wie die 5a.“ Widerlege Tims Aussage.
Hinweis: Lies die Werte genau ab und achte auf den Anfang der Hochachse.
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Musterlösung: Die 5a lief 64, die 5b 72 Runden. Doppelt so viele wären 2 · 64 = 128 Runden — die 5b lief nur 8 Runden mehr. Tim ist auf das Diagramm hereingefallen: Die Hochachse beginnt erst bei 56. Deshalb ragt die Säule der 5a nur 8 Einheiten, die der 5b 16 Einheiten über den unteren Rand. Die gezeichnete Höhe ist doppelt so groß, die Rundenzahl nicht.
Aylin hat die Strichliste zu „Welches Tier hättest du am liebsten?“ in eine Häufigkeitstabelle übertragen.
| Tier | Strichliste |
|---|---|
| Hund | |
| Katze | |
| Pferd | |
| Hamster |
Aylins Tabelle:
| Tier | Hund | Katze | Pferd | Hamster | Summe |
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl | 12 | 9 | 7 | 4 | 32 |
Überprüfe Aylins Tabelle. a) Welche Zahl muss beim Hund richtig stehen? b) Wie lautet die richtige Summe?
Hinweis: Zähle jede Zeile der Strichliste selbst nach.
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Musterlösung: Beim Hund stehen 2 Fünferbündel und 3 einzelne Striche: 5 + 5 + 3 = 13. Aylin hat 12 eingetragen — sie hat vermutlich den Querstrich eines Bündels nicht mitgezählt und ein Bündel als 4 gelesen. Die übrigen Zeilen stimmen. Richtige Summe: 13 + 9 + 7 + 4 = 33. Kontrolle: Wenn bekannt ist, wie viele Kinder befragt wurden, muss genau diese Zahl herauskommen.
Die Schülervertretung will wissen, wie die Fünftklässler zur Schule kommen. Es gibt sechs fünfte Klassen mit je 27 Kindern. Plane die Erhebung: Frage, Merkmal, Ausprägungen, Art der Erhebung und Auswertung.
a) Wie viele Fragebögen werden gebraucht, wenn alle Fünftklässler befragt werden? b) Auf ein Blatt passen 4 Fragebögen. Wie viele Blätter müssen gedruckt werden?
Hinweis: Bei b) muss jeder Fragebogen auf ein Blatt passen — denk an den Rest.
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Musterlösung: Frage: „Wie kommst du meistens zur Schule?“ Merkmal: Schulweg. Ausprägungen zum Ankreuzen: zu Fuß, Fahrrad, Bus, Auto, Sonstiges — und nur ein Kreuz erlaubt. Art: Befragung mit Fragebogen in allen sechs Klassen. a) 6 · 27 = 162 Fragebögen. b) 162 : 4 = 40 Rest 2; für die restlichen 2 Fragebögen braucht man ein weiteres Blatt, also 41 Blätter. Auswertung: Antworten mit einer Strichliste zählen, in eine Häufigkeitstabelle übertragen (Kontrolle: Summe 162, wenn alle abgeben) und als Säulendiagramm darstellen.
Emil hat seine Körpergröße jedes Jahr an seinem Geburtstag gemessen, vom 6. bis zum 11. Geburtstag. Er will zeigen, wie er gewachsen ist. Zur Auswahl stehen: 1 Säulendiagramm, 2 Liniendiagramm, 3 Bilddiagramm. Lege dich begründet auf eine Darstellung fest und trage ihre Nummer ein.
Hinweis: Überlege, was die Daten gemeinsam haben: Sie gehören zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.
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Musterlösung: Ich lege mich auf das Liniendiagramm (2) fest. Die Messwerte gehören zu aufeinanderfolgenden Jahren; die Linie zeigt auf einen Blick, wie Emil wächst und in welchem Jahr er besonders viel gewachsen ist. Ein Säulendiagramm wäre möglich, zeigt den Verlauf aber weniger deutlich. Ein Bilddiagramm eignet sich für Anzahlen (z. B. Bücher), nicht für Größen in Zentimetern — halbe oder viertel Symbole wären kaum ablesbar.
Die 5a und die 5b sammeln fünf Wochen lang Altpapier (in kg). Die Tabelle ist schon angelegt, Zeile 7 ist noch leer.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Woche | 5a | 5b |
| 2 | 1 | 12 | 10 |
| 3 | 2 | 15 | 16 |
| 4 | 3 | 9 | 13 |
| 5 | 4 | 18 | 11 |
| 6 | 5 | 14 | 17 |
| 7 | Summe |
Entwickle Formeln für Zeile 7, mit denen die Tabellenkalkulation die Summen selbst berechnet, und eine Formel für D7, die beide Klassen zusammenzählt. a) Welche Zahl erscheint in B7? b) Welche Zahl erscheint in D7?
Hinweis: Eine Formel beginnt immer mit einem Gleichheitszeichen.
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Musterlösung: In B7 steht =SUMME(B2:B6); das ergibt 12 + 15 + 9 + 18 + 14 = 68 kg. In C7 steht =SUMME(C2:C6) mit 10 + 16 + 13 + 11 + 17 = 67 kg. In D7 steht =B7+C7 und liefert 68 + 67 = 135 kg. Die 5a liegt knapp mit 1 kg vorn. Zusätzlich könnte =MAX(B2:C6) die beste Einzelwoche finden (18 kg, 5a in Woche 4). Wird ein Wert geändert, passen sich alle Formeln sofort an.
Beim Schulfest hat Stand B doppelt so viele Eiskugeln verkauft wie Stand A. Auf dem Plakat ist die Eistüte von Stand B deshalb doppelt so breit und doppelt so hoch gezeichnet. Bewerte diese Darstellung.
Wievielmal so groß ist die Fläche der rechten Eistüte im Vergleich zur linken?
Hinweis: Stell dir ein Rechteck vor, das doppelt so breit und doppelt so hoch ist, und zeichne es auf Karopapier.
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Musterlösung: Ein Bild, das doppelt so breit und doppelt so hoch ist, hat die 2 · 2 = 4-fache Fläche (auf Karopapier: aus 1 Kästchen werden 4). Das Plakat lässt Stand B also viermal so erfolgreich aussehen, obwohl er nur doppelt so viel verkauft hat. Bewertung: Die Darstellung ist irreführend. Besser: ein Bilddiagramm mit gleich großen Symbolen, z. B. 1 Eistüte = 100 Kugeln — dann bekommt A 2 und B 4 Symbole.
Die Schülervertretung zeigt dieses Diagramm und sagt: „Limo wird immer beliebter. Bald trinken alle nur noch Limo statt Wasser.“ Diskutiere diese Aussage.
a) Um wie viele Flaschen ist der Limo-Verkauf von Januar bis Juni gestiegen? b) Wie groß ist der Unterschied zwischen Wasser und Limo im Juni?
Hinweis: Schau dir nicht nur die Limo-Linie an, sondern auch die Wasser-Linie.
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Musterlösung: Für die Aussage spricht: Der Limo-Verkauf steigt jeden Monat, von 40 auf 75 Flaschen, also um 35. Dagegen spricht: Ab April steigt auch der Wasserverkauf deutlich — im Frühsommer trinken einfach alle mehr. Wasser wird in jedem Monat häufiger verkauft als Limo, im Juni noch 95 gegen 75, also 20 Flaschen mehr. Fazit: Limo wird zwar mehr verkauft, aber dass „bald alle nur noch Limo trinken“, lässt sich aus dem Diagramm nicht ablesen; um das zu prüfen, müsste man auch Herbst und Winter beobachten.
Für einen Fragebogen wurden vier Fragen vorgeschlagen:
- „Wie findest du den Schulkiosk?“
- „Wie kommst du meistens zur Schule? ☐ zu Fuß ☐ Fahrrad ☐ Bus ☐ Auto ☐ Sonstiges“
- „Du findest doch auch, dass die große Pause zu kurz ist?“
- „Wie viele Geschwister hast du? ☐ 0 ☐ 1 ☐ 2 ☐ 3 oder mehr“
Wie viele dieser Fragen sind gute Fragen für eine statistische Erhebung? Formuliere die schlechten Fragen so um, dass man die Antworten gut zählen kann.
Hinweis: Eine gute Frage ist eindeutig, gibt Antworten vor und drängt niemanden zu einer Meinung.
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Musterlösung: Gut sind die Fragen 2 und 4 — also 2 Fragen: Sie sind eindeutig, und jede Antwort passt in genau ein Kästchen. Frage 1 ist zu offen („ganz gut“, „lecker“, „zu teuer“ lassen sich schwer zählen). Besser: „Wie zufrieden bist du mit dem Schulkiosk? ☐ sehr zufrieden ☐ zufrieden ☐ unzufrieden“. Frage 3 drängt zur Antwort „Ja“. Besser: „Wie findest du die Länge der großen Pause? ☐ zu kurz ☐ genau richtig ☐ zu lang“.
Lea sieht das Diagramm zur Schach-AG und sagt: „Zwischen den ersten beiden Punkten ist die AG am stärksten gewachsen — doppelt so stark wie später.“ Nimm Stellung zu Leas Aussage.
a) Wie viele Jahre liegen zwischen den ersten beiden Punkten? b) Um wie viele Mitglieder ist die AG in diesem Abschnitt pro Jahr gewachsen?
Hinweis: Schau dir die Beschriftung der Rechtsachse genau an.
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Musterlösung: Lea hat nicht recht. Zwischen 2019 und 2021 liegen 2 Jahre, im Diagramm aber nur ein Abstand — das Jahr 2020 fehlt. Die AG ist in diesen 2 Jahren um 12 − 8 = 4 Mitglieder gewachsen, also um 2 Mitglieder pro Jahr. Danach wächst sie ebenfalls um 2 pro Jahr. Das Wachstum war also immer gleich stark; nur die ungleiche Einteilung der Rechtsachse lässt den ersten Abschnitt doppelt so steil aussehen. Richtig gezeichnet müsste 2020 einen eigenen Platz bekommen.
In der 5d sind 28 Kinder. Auf dem AG-Fragebogen durfte jedes Kind bis zu zwei AGs ankreuzen. Die Auswertung:
| AG | Chor | Robotik | Schach | Theater | Fußball | Summe |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kreuze | 9 | 12 | 7 | 8 | 5 | 41 |
Tom sagt: „Die Summe ist 41, also wurden 41 Kinder befragt.“ Beurteile Toms Aussage. Wie viele Kinder wurden tatsächlich befragt?
Hinweis: Lies genau, wie viele Kreuze jedes Kind machen durfte.
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Musterlösung: Tom irrt. Befragt wurden die 28 Kinder der 5d. Die Summe 41 zählt Kreuze, nicht Kinder: Weil jedes Kind bis zu zwei AGs ankreuzen durfte, gibt es mehr Kreuze als Kinder. Hat jedes Kind mindestens ein Kreuz gemacht, dann haben 41 − 28 = 13 Kinder zwei AGs angekreuzt. Die Kontrolle „Summe = Anzahl der Befragten“ funktioniert nur, wenn jede Person genau eine Antwort gibt.