Vielfache und kgV
Die Vielfachen einer Zahl entstehen beim Weiterzählen in gleichen Schritten.
- Vielfache: \(V_4=\{4;\,8;\,12;\,16;\,20;\,24;\,\ldots\}\) — \(4\cdot1,\ 4\cdot2,\ 4\cdot3,\ \ldots\)
- Unendlich: Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache, aber nur endlich viele Teiler.
- Gemeinsam: \(V_6=\{6;\,12;\,18;\,24;\,\ldots\}\) — 12, 24, 36, … liegen in beiden Listen.
- kgV: das kleinste gemeinsame Vielfache: \(\text{kgV}(4,6)=12\).
Stelle die Sprungweiten ein und starte mit ▶ oder gehe mit „Schritt“ voran. Es springt immer der Frosch, der weiter hinten sitzt.
Halte fest: Der erste Stein, auf dem beide Frösche landen, ist das kgV der beiden Sprungweiten.
Gemeinsame Teiler und ggT
Bei den Teilern sucht man umgekehrt den größten, der in beiden Teilermengen steht.
- Teilermengen: \(T_{12}=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}\), \(T_{18}=\{1;\,2;\,3;\,6;\,9;\,18\}\)
- Gemeinsam: 1, 2, 3 und 6 teilen beide Zahlen.
- ggT: der größte gemeinsame Teiler: \(\text{ggT}(12,18)=6\).
- Teilerfremd: \(\text{ggT}=1\), z. B. bei 8 und 9.
- Wozu? Mit dem ggT kürzt man Brüche, mit dem kgV findet man den Hauptnenner.
ggT und kgV: \(\text{ggT}(a,b)\) ist die größte Zahl, die \(a\) und \(b\) teilt; \(\text{kgV}(a,b)\) ist die kleinste Zahl, die \(a\) und \(b\) als Teiler hat.
Allgemeine Hinweise
Größenkontrolle
Der ggT ist nie größer als die kleinere Zahl, das kgV nie kleiner als die größere: \(\text{ggT}(12,18)=6\le12\), \(\text{kgV}(4,6)=12\ge6\).
Das Produkt ist nicht immer das kgV
\(4\cdot6=24\) ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste: \(\text{kgV}(4,6)=12\).
In Schritten der größeren Zahl zählen
Für \(\text{kgV}(4,6)\): 6, 12 — und prüfen, ob 4 teilt. Das spart Schreibarbeit.