Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, auch durch 3 teilbar ist.
Hinweis: Nutze \(9=3\cdot3\) oder die Quersummenregeln.
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Musterlösung: Ist \(n\) durch 9 teilbar, gilt \(n=9\cdot k\) für eine natürliche Zahl \(k\). Wegen \(9=3\cdot3\) ist \(n=3\cdot(3k)\) — also ein Vielfaches von 3. Mit der Quersumme: Ist sie durch 9 teilbar, dann auch durch 3. Umgekehrt gilt es nicht: 12 ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.
Beurteile die Aussage: „Das kgV zweier Zahlen ist immer ihr Produkt.“
Hinweis: Teste 4 und 6 sowie 4 und 5.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Das Produkt ist zwar immer ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht immer das kleinste: \(\text{kgV}(4,6)=12\), \(4\cdot6=24\). Gleich sind sie nur, wenn die Zahlen teilerfremd sind, z. B. \(\text{kgV}(4,5)=20\).
Erläutere mit einer Skizze, warum \(\tfrac34=\tfrac68\) ist.
Hinweis: Zeichne ein Rechteck in Viertel und teile jedes Viertel noch einmal.
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Musterlösung: Ein Rechteck wird in 4 gleiche Teile zerlegt, 3 werden gefärbt. Halbiert man jedes Teil, entstehen 8 gleiche Teile, gefärbt sind jetzt 6. Die gefärbte Fläche ist dieselbe geblieben — also \(\tfrac34=\tfrac{3\cdot2}{4\cdot2}=\tfrac68\).
Mia rechnet: „\(\tfrac23=\tfrac45\), denn ich habe oben und unten 2 addiert.“ Überprüfe Mias Rechnung.
Hinweis: Vergleiche beide Brüche mit dem Hauptnenner 15.
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Musterlösung: Mias Rechnung ist falsch: \(\tfrac23=\tfrac{10}{15}\) und \(\tfrac45=\tfrac{12}{15}\) sind verschieden. Beim Erweitern muss man Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen, z. B. \(\tfrac23=\tfrac46\).
Beurteile die Aussage: „\(\tfrac18\) ist größer als \(\tfrac14\), weil 8 größer ist als 4.“
Hinweis: Stelle dir eine Pizza vor.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Je mehr gleiche Teile, desto kleiner ist jedes: \(\tfrac18=\tfrac{1}{8}\) ist die Hälfte von \(\tfrac14=\tfrac28\). Also \(\tfrac18<\tfrac14\).
Gib zwei Brüche an, die zwischen \(\tfrac13\) und \(\tfrac12\) liegen, und begründe.
Hinweis: Erweitere beide Brüche auf einen großen gemeinsamen Nenner, z. B. 12.
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Musterlösung: Mit Nenner 24: \(\tfrac13=\tfrac{8}{24}\), \(\tfrac12=\tfrac{12}{24}\). Dazwischen liegen z. B. \(\tfrac{9}{24}=\tfrac38\) und \(\tfrac{10}{24}=\tfrac5{12}\). Erweitert man weiter, findet man beliebig viele Brüche dazwischen.
Vergleiche: Was ist mehr, \(\tfrac34\) von 20 € oder \(\tfrac23\) von 24 €?
Hinweis: Rechne beide Bruchteile aus.
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Musterlösung: \(\tfrac34\) von 20 € sind 15 €, \(\tfrac23\) von 24 € sind 16 €. Obwohl \(\tfrac34>\tfrac23\) ist, ist der zweite Betrag größer — weil das Ganze größer ist.
Beurteile: „Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 3 — dann ist \(\tfrac13\) der Schorle Saft.“
Hinweis: Zähle alle Teile der Mischung.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Die Schorle besteht aus \(1+3=4\) gleichen Teilen, davon ist 1 Teil Saft. Der Saftanteil ist \(\tfrac14\), der Wasseranteil \(\tfrac34\).
In Klasse A fahren 12 von 30 Kindern Rad, in Klasse B 10 von 20. Beurteile: „In Klasse A fahren anteilig mehr Kinder Rad.“
Hinweis: Vergleiche die Anteile, nicht die Anzahlen.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. In A sind es \(\tfrac{12}{30}=\tfrac25=40\,\%\), in B \(\tfrac{10}{20}=\tfrac12=50\,\%\). A hat mehr Radfahrer, B aber den größeren Anteil.
Überprüfe: „40 % der Klasse sind 12 Kinder. Dann hat die Klasse 48 Kinder.“
Hinweis: Schreibe 40 % als gekürzten Bruch.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. \(40\,\%=\tfrac{40}{100}=\tfrac25\). Wenn \(\tfrac25\) gleich 12 Kinder sind, ist \(\tfrac15\) gleich 6 Kinder und die Klasse hat \(6\cdot5=30\) Kinder. Probe: \(\tfrac25\) von 30 = 12 ✓. Die 48 entsteht, wenn man \(12\cdot4\) rechnet.