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Feiner und gröber einteilen
Derselbe Anteil lässt sich mit verschiedenen Brüchen schreiben.
- Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen: \(\tfrac34=\tfrac{3\cdot3}{4\cdot3}=\tfrac{9}{12}\).
- Im Bild: Jedes Teil wird in gleich viele Stücke zerlegt — mehr, aber kleinere Teile.
- Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen: \(\tfrac{9}{12}=\tfrac{9:3}{12:3}=\tfrac34\).
- Im Bild: Je gleich viele Stücke werden zu einem Teil zusammengefasst.
- Wert: bleibt gleich — der Punkt auf dem Zahlenstrahl wandert nicht.
Verändere den Erweiterungsfaktor mit dem Regler (oder − und +). Beobachte Zähler, Nenner und den Punkt auf dem Zahlenstrahl. Neue Brüche gibt es über „Anderer Bruch“.
Halte fest: Beim Erweitern und Kürzen ändern sich Zähler und Nenner, der Anteil bleibt derselbe.
2
Vollständig kürzen
Beim Kürzen braucht man einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.
- Teiler suchen: \(\tfrac{12}{18}\): 2, 3 und 6 teilen beide Zahlen.
- Schrittweise: erst durch 2, dann durch 3 — oder gleich durch 6.
- Mit dem ggT: \(\text{ggT}(12,18)=6\) kürzt in einem Schritt vollständig.
- Vollständig gekürzt: Zähler und Nenner haben nur noch den Teiler 1: \(\tfrac23\).
Herleitung:
\(\dfrac{12}{18}=\dfrac{6}{9}\)
\(:2\)
Zähler und Nenner sind gerade.
\(\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\)
\(:3\)
Quersummen 6 und 9 sind durch 3 teilbar.
\(\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\)
Ergebnis
Zusammen durch \(2\cdot3=6=\text{ggT}(12,18)\) gekürzt.
Merke
Erweitern und Kürzen: \(\dfrac{z}{n}=\dfrac{z\cdot k}{n\cdot k}\) und \(\dfrac{z}{n}=\dfrac{z:k}{n:k}\)
3
Allgemeine Hinweise
Nicht addieren
\(\tfrac34\ne\tfrac{3+2}{4+2}=\tfrac56\). Erweitern heißt malnehmen, nicht dazuzählen.
Kürzen nur mit gemeinsamen Teilern
\(\tfrac{9}{12}\) lässt sich nicht durch 2 kürzen — 9 ist ungerade.
Auf einen Wunsch-Nenner erweitern
\(\tfrac35\) auf Nenner 20: \(20:5=4\), also \(\tfrac{3\cdot4}{5\cdot4}=\tfrac{12}{20}\).