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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu Modellwahl und Anpassung — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Modellwahl
AFB IGib alle zutreffenden Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Ein begrenztes Modell hat drei Parameter (\(S\), \(f(0)\), \(k\)) — dafür braucht man drei Bedingungen.
Differenzen, Quotienten, Zuwächse.
Wie viele Parameter hat das Modell?
A2
Stimmt's? — Modelle bewerten
AFB IFünf Behauptungen.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Modelle beschreiben Daten in einem Gültigkeitsbereich — darüber hinaus nur mit Vorsicht.
Denke an den Modellierungskreislauf.
Interpolation vs. Extrapolation.
A3
Abnahme aus zwei Werten
AFB IEin Bestand nimmt exponentiell ab: \(f(0)=400\), \(f(5)=250\). Berechne die Modellwerte (zwei Nachkommastellen).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| t | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(t) | 400 | 250 |
In je 5 Zeiteinheiten wird mit \(\frac{250}{400}=0{,}625\) multipliziert: \(156{,}25\), \(97{,}66\), \(61{,}04\). Mit \(k=\frac{\ln0{,}625}{5}\approx-0{,}094\) erhält man dasselbe.
Faktor für 5 Zeiteinheiten: \(\frac{250}{400}\).
Oder \(k\) bestimmen und \(400e^{kt}\) rechnen.
A4
Welches Modell passt zum Vorgang?
MixAFB IIOrdne jeden Vorgang einem Modell zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1linear
2exponentiell
3begrenzt
4logistisch
Logistisch: Ausbreitung durch Kontakt (Rate hängt vom Bestand und von den noch nicht Erreichten ab). Begrenzt: Rate hängt nur vom Abstand zum Endwert ab.
Wovon hängt die Änderungsrate ab?
Ansteckung braucht Kontakt: Bestand und Rest spielen eine Rolle.
A5
Scharparameter anpassen
AFB IIDas Modell \(f_k(t)=90-70e^{-kt}\) soll durch den Messpunkt \((4\,|\,62)\) gehen. Bestimme \(k\) (vier Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(70e^{-4k}=28\iff e^{-4k}=0{,}4\iff k=\frac{\ln2{,}5}{4}\approx0{,}2291\).
Setze \(t=4\), \(f=62\) ein.
Logarithmieren und durch \(-4\) teilen.
A6
Der Modellierungskreislauf
AFB IIOrdne die Schritte des Modellierens.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Sachsituation verstehen und Daten sammeln
2Modelltyp wählen und begründen
3Parameter bestimmen (zwei Punkte oder Regression)
4Mit dem Modell rechnen
5Ergebnisse im Kontext deuten
6Mit neuen Daten prüfen und gegebenenfalls anpassen
Der Kreislauf endet nicht mit dem Rechnen: Erst die Deutung und die Prüfung zeigen, ob das Modell trägt.
Was muss man wissen, bevor man ein Modell wählt?
Die Prüfung kommt zum Schluss.
A7
Rechenkette: Modell aus zwei Punkten
MixAFB IIEin Bestand \(f(t)=a\,e^{kt}\) hat \(f(2)=150\) und \(f(6)=600\). Ermittle:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(k\) (vier Nachkommastellen)
- \(a\)
- Verdopplungszeit
- \(f(10)\)
Quotient: \(e^{4k}=4\Rightarrow k=\frac{\ln4}{4}=\frac{\ln2}{2}\). Dann \(a=150e^{-2k}=75\), Verdopplungszeit \(2\), \(f(10)=75\cdot2^{5}=2400\).
\(\frac{f(6)}{f(2)}=e^{4k}\).
\(a=f(2)\cdot e^{-2k}\).
A8
Fehlersuche: Modellbericht
AFB IIIDrei der sechs Aussagen aus einem Bericht sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Güte der Passung ersetzt nicht die Sachlogik.
Was misst \(r^{2}\) — und was nicht?
Zähle die Parameter.
A9
Trickaufgabe: zwei gleiche Werte
TrickAFB IIIEin Modell \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) geht durch \((0\,|\,50)\) und \((10\,|\,50)\). Bestimme \(k\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(e^{10k}=1\iff k=0\): Der Bestand ist konstant — kein Wachstum und keine Abnahme.
\(\frac{f(10)}{f(0)}=e^{10k}\).
\(\ln1=0\).
A10
Wie viele Messpunkte braucht man?
MixAFB IIIBeurteile, wie viele Messpunkte (Bedingungen) man mindestens braucht, um das Modell festzulegen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 1 Punkt, 2 = 2 Punkte, 3 = 3 Punkte, 4 = 4 Punkte. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = 1 Punkt4 = 4 Punkte
linear \(f(t)=mt+n\)
exponentiell \(a\,e^{kt}\)
exponentiell mit bekanntem \(a\)
begrenzt, \(S\) unbekannt
begrenzt, \(S\) aus dem Kontext bekannt
logistisch, alle Parameter unbekannt
Faustregel: so viele Bedingungen wie freie Parameter. Kontextwissen (z. B. die Schranke) spart einen Messpunkt.
Zähle die Parameter.
Logistisch: \(S\), \(c\), \(kS\).