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Abituraufgaben: Modelle anpassen und bewerten

E-Autos, ein Welpe und die Frage, welchem Modell man trauen kann.

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1

E-Autos in einer Stadt

AFB II

Die Tabelle zeigt die Zahl der zugelassenen E-Autos in einer Stadt mit etwa \(150\,000\) Haushalten.

Messreihe
t in Jahren012345E-Autos in Tsd.1,21,82,94,46,910,6
Zugelassene E-Autos in einer Stadt, \(t=0\) entspricht 2018.
  1. Begründen Sie, dass ein exponentielles Modell für den Zeitraum geeignet ist.
  2. Bestimmen Sie aus den Werten für 2018 und 2023 ein Modell \(f(t)=a\,e^{kt}\).
  3. Vergleichen Sie Ihr Modell mit der Regression des GTR (\(y=a\cdot e^{bx}\)).
  4. Beurteilen Sie eine Prognose für 2030 und entwickeln Sie einen Vorschlag für ein langfristig geeignetes Modell.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Quotienten aufeinanderfolgender Werte.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(a=1{,}2\), \(e^{5k}=\frac{10{,}6}{1{,}2}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
fx-CG50: MENU Statistik, Listen füllen, F2 (CALC), F3 (REG), F6 (▷), Exp, \(a\cdot e^{bx}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne \(f(12)\) und vergleiche mit der Zahl der Haushalte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Quotienten: \(1{,}50;\ 1{,}61;\ 1{,}52;\ 1{,}57;\ 1{,}54\) — annähernd konstant, also etwa \(55\,\%\) Zunahme pro Jahr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(k=\frac{\ln(10{,}6/1{,}2)}{5}\approx0{,}4357\), \(f(t)=1{,}2\,e^{0{,}4357\,t}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Regression: \(a\approx1{,}19\), \(b\approx0{,}438\) (\(r^{2}\approx0{,}9997\)). Beide Modelle stimmen fast überein; die Regression berücksichtigt alle Messwerte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(f(12)\approx224\) Tausend — mehr E-Autos als Haushalte; unrealistisch.

Langfristig ist ein logistisches Modell mit einer Schranke (z. B. einem Teil der \(150\,000\) Haushalte) sinnvoll; die Schranke wird über den Kontext oder eine logistische Regression bestimmt.

2

Zwei Modelle für einen Welpen

AFB II–III

Für das Gewicht eines Welpen werden zwei Modelle vorgeschlagen: \(L(t)=\dfrac{10{,}4}{1+12{,}5e^{-0{,}29t}}\) und \(B(t)=12-11{,}6e^{-0{,}065t}\).

Gewicht eines Welpen
t in Wochen048121620Gewicht in kg0,42,14,87,29,010,1
Wöchentlich gewogener Welpe (jede vierte Woche).
  1. Vergleichen Sie beide Modelle mit den Messwerten bei \(t=8\) und \(t=20\).
  2. Begründen Sie anhand der Zuwächse, welcher Modelltyp besser passt.
  3. Bestimmen Sie für \(L\) den Zeitpunkt des schnellsten Wachstums und die Wachstumsrate dann.
  4. Die mittlere absolute Abweichung beträgt bei \(L\) etwa \(0{,}20\) kg und bei \(B\) etwa \(0{,}69\) kg. Bewerten Sie beide Modelle, auch im Hinblick auf das Endgewicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Einsetzen, Abweichungen berechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zuwächse je 4 Wochen: werden sie von Anfang an kleiner?
Hinweis zu Aufgabe c)
\(12{,}5e^{-0{,}29t}=1\); Rate \(kS\cdot\frac S4\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Genauigkeit und Sachlogik (Endgewicht) gemeinsam betrachten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(L(8)\approx4{,}67\), \(B(8)\approx5{,}10\) (gemessen \(4{,}8\)); \(L(20)\approx10{,}02\), \(B(20)\approx8{,}84\) (gemessen \(10{,}1\)).

\(L\) liegt an beiden Stellen näher an den Messwerten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zuwächse: \(1{,}7;\ 2{,}7;\ 2{,}4;\ 1{,}8;\ 1{,}1\) — erst steigend, dann fallend. Das passt zum logistischen, nicht zum begrenzten Modell (dort würden die Zuwächse von Anfang an kleiner).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t=\frac{\ln12{,}5}{0{,}29}\approx8{,}71\) Wochen, Gewicht \(5{,}2\) kg, Rate \(\frac{0{,}29\cdot10{,}4}{4}\approx0{,}754\) kg pro Woche.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(L\) passt deutlich besser (kleinere Abweichung, richtige Form der Zuwächse). Endgewicht: \(L\) sagt \(10{,}4\) kg voraus, \(B\) \(12\) kg. Ob der Hund ausgewachsen eher \(10\) oder \(12\) kg wiegt, zeigen erst weitere Messungen — bis dahin ist \(L\) vorzuziehen, sollte aber mit neuen Daten geprüft werden.