MINT lernen

Modelle anpassen und bewerten

Welches Modell passt zu den Daten — und wie lange darf man ihm trauen?

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Das passende Modell wählen

Welches Modell zu einem Prozess passt, zeigen die Daten — und die Frage, ob es im Sachkontext eine natürliche Obergrenze gibt.

  • Linear:\(f'(t)=m\) — konstante Änderungsrate; in der Tabelle gleiche Differenzen.
  • Exponentiell:\(f'(t)=k\cdot f(t)\) — gleiche Quotienten \(\frac{f(t+1)}{f(t)}\).
  • Begrenzt:\(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) — gleiche Quotienten der Abstände zu \(S\); größte Rate am Anfang.
  • Logistisch:\(f'(t)=k\cdot f(t)\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) — Zuwächse werden erst größer, dann kleiner (S-Kurve).
  • Kontext:gibt es eine Obergrenze (Einwohnerzahl, Fläche, Raumtemperatur), kommt langfristig nur ein begrenztes oder logistisches Modell in Frage.

Alle drei Modelle wurden an die Werte der Wochen 0 und 2 angepasst. Rolle die Zeitrolle nach rechts (ziehen oder Pfeiltasten), um Woche für Woche neue Messwerte freizulegen, und beobachte die Abweichungen.

Nutzerzahl einer Lern-App

Halte fest: Zu Beginn passen alle drei Modelle. Erst beim Weiterrollen der Zeit trennen sie sich — über die Wahl entscheidet der Sachkontext, hier die Obergrenze von 1200 Lernenden.

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Parameter bestimmen und bewerten

Ist der Modelltyp gewählt, werden die Parameter an Messwerte angepasst — per Hand aus wenigen Punkten oder per Regression.

  • Zwei Punkte:für \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) Quotient bilden: \(\frac{y_{2}}{y_{1}}=e^{k(t_{2}-t_{1})}\), \(a\) kürzt sich heraus.
  • Scharparameter:ist \(S\) aus dem Kontext bekannt, bleibt z. B. nur \(k\) frei: \(f_{k}(t)=50-40\,e^{-kt}\) mit \(f_{k}(5)=30\) liefert \(e^{-5k}=\frac12\), also \(k=\frac{\ln2}{5}\approx0{,}139\).
  • GTR (fx-CG50):MENU Statistik, Listen füllen, F2 (CALC), F3 (REG), F6 (▷), dann Exp mit \(a\cdot e^{bx}\) (hier \(b=k\)) oder Logistic.
  • CAS (TI-Nspire):Menü › Statistik › Statistische Berechnungen › Exponentielle Regression liefert \(y=a\cdot b^{x}\), dann \(k=\ln b\); analog Logistische Regression (d=0).
  • Gültigkeitsbereich:angeben, für welche Zeiten das Modell gelten soll; Vorhersagen weit außerhalb der Messwerte sind unsicher.
  • Kreislauf:Sachsituation → Modell → rechnen → im Kontext deuten → mit neuen Daten prüfen → gegebenenfalls anpassen.
Merke

Vier Wachstumsmodelle: \(f'=m\qquad f'=k\cdot f\qquad f'=k\cdot(S-f)\qquad f'=k\cdot f\cdot(S-f)\)

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Allgemeine Hinweise

TI-Nspire liefert b, nicht k

Die Exponentielle Regression des TI-Nspire hat die Form \(y=a\cdot b^{x}\). Für die e-Funktion gilt \(k=\ln b\) — sonst stimmt der Exponent nicht.

Gute Passung ist kein Beweis

Wenige Messwerte lassen sich oft durch mehrere Modelle gleich gut beschreiben. Erst neue Daten oder der Sachkontext entscheiden.

Nach der Grenze fragen

Frage bei jeder Modellierung: Kann die Größe beliebig wachsen? Wenn nein, gehört eine Schranke \(S\) ins Modell.

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