Wachstumsgeschwindigkeit: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Algen im Baggersee

AFB I

Die Algenfläche auf einem Baggersee wächst exponentiell. \(f(t)\) ist die Fläche nach \(t\) Tagen, \(f'(t)\) die Wachstumsgeschwindigkeit. Gib alle Aussagen an, die stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(f(t+1)-f(t)\) ist die mittlere Änderung über einen ganzen Tag, nicht die momentane Rate. Und \(k\) ist nicht \(b\): bei \(b=1{,}5\) ist \(k\approx0{,}405\).

Beim exponentiellen Wachstum gilt \(f'(t)=k\cdot f(t)\). Was folgt daraus für einen doppelt so großen Bestand?

Die momentane Änderungsrate ist eine Tangentensteigung; \(f(t+1)-f(t)\) ist eine Sekantensteigung über die Breite 1.

A2

Stimmt's? — Tangente und Bestand

AFB I

Fünf Behauptungen zur momentanen Änderungsrate.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Proportionalität zum Bestand ist das Kennzeichen exponentiellen Wachstums — beim linearen Wachstum ist die Rate konstant.

Zeichne dir zu jeder Aussage kurz einen Graphen: Wie ändert sich die Tangentensteigung?

Bei \(f(t)=300\cdot2^{t}\) ist \(f(4)=300\cdot16\). Was bedeutet das für \(f'(4)\)?

A3

Hefezellen in der Petrischale

AFB I

Ein Bestand wächst nach \(f(t)=1000\cdot1{,}2^{t}\) (\(t\) in Stunden). Gemessen wurde \(f'(0)\approx182\) Zellen pro Stunde. Berechne die fehlenden Werte — die Rate mit einer Nachkommastelle.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

t in h	0	1	2	3
f(t)	1000
f′(t) in Zellen/h	182

Weil \(f'\) proportional zu \(f\) ist, wächst auch die Rate stündlich mit dem Faktor \(1{,}2\): \(182\cdot1{,}2=218{,}4\), \(218{,}4\cdot1{,}2\approx262{,}1\), \(262{,}1\cdot1{,}2\approx314{,}5\). Wer jede Stunde \(182\) addiert, rechnet linear.

Der Quotient \(\frac{f'(t)}{f(t)}=\frac{182}{1000}\) bleibt fest. Was heißt das für \(f'(1)\)?

Multipliziere die Rate genauso wie den Bestand jede Stunde mit \(1{,}2\).

A4

Welcher Zusammenhang?

MixAFB II

Ordne jede Beschreibung dem passenden Korb zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1f′ proportional zu f

2f′ konstant

3weder noch

Auch Abnahme wie \(7\cdot0{,}9^{t}\) ist exponentiell: \(f'=k\cdot f\) mit \(k<0\). Bei \(t^{2}+1\) wächst die Rate mit der Zeit, aber nicht im festen Verhältnis zum Bestand.

Prüfe jeweils: Hängt die Änderungsrate vom Bestand ab, ist sie fest — oder keins von beiden?

Für \(f(t)=t^{2}+1\) ist \(f'(t)=2t\). Ist \(\frac{2t}{t^{2}+1}\) konstant?

A5

Hochrechnen mit dem Quotienten

AFB II

Bei einem exponentiell wachsenden Bestand misst man bei \(f=800\) eine Wachstumsgeschwindigkeit von \(56\) Tieren pro Jahr. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit bei einem Bestand von \(2300\) Tieren.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(k=\frac{56}{800}=0{,}07\) pro Jahr, also \(f'=0{,}07\cdot2300=161\) Tiere pro Jahr. Den Zeitpunkt braucht man dafür gar nicht.

Berechne zuerst \(k=\frac{f'}{f}\).

Mit demselben \(k\): \(f'=k\cdot2300\).

A6

Wer hat das größte k?

AFB II

Fünf exponentiell wachsende Bestände, jeweils ein Messpaar aus Bestand und Wachstumsgeschwindigkeit (gleiche Zeiteinheit). Vergleiche und ordne nach \(k\) — kleinstes oben.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1\(f=2000,\ f'=60\)

2\(f=900,\ f'=36\)

3\(f=400,\ f'=20\)

4\(f=50,\ f'=4\)

5\(f=10,\ f'=1{,}2\)

\(k=\frac{f'}{f}\): \(0{,}03\) · \(0{,}04\) · \(0{,}05\) · \(0{,}08\) · \(0{,}12\). Die größte Rate (\(60\)) gehört zum kleinsten \(k\) — entscheidend ist das Verhältnis, nicht die Größe der Rate.

Berechne für jede Karte \(k=f'\,:\,f\).

Achtung: eine große Rate bei einem riesigen Bestand kann ein kleines \(k\) bedeuten.

A7

Rechenkette: Differenzenquotient

MixAFB II

Ein Bestand wächst nach \(N(t)=250\cdot1{,}4^{t}\) (\(t\) in Stunden). Ermittle Schritt für Schritt:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(N(2)\)
Differenzenquotient auf \([2;\,2{,}01]\) (eine Nachkommastelle) pro h
\(k\approx N'(2):N(2)\) (drei Nachkommastellen) pro h
Wachstumsgeschwindigkeit bei \(N=1000\) pro h

Der Differenzenquotient mit \(h=0{,}01\) liefert \(N'(2)\approx165{,}1\). Der Quotient \(0{,}337\) hängt nicht vom Zeitpunkt ab, deshalb wächst der Bestand bei \(N=1000\) um etwa \(337\) pro Stunde.

\(\frac{N(2{,}01)-N(2)}{0{,}01}\) — rechne mit dem Rechner und runde erst am Ende.

Für den letzten Schritt: \(N'=k\cdot N\) mit \(N=1000\).

A8

Fehlersuche: Referat über Wasserlinsen

AFB III

Wasserlinsen bedecken einen Teich nach \(f(t)=2\cdot1{,}25^{t}\) (\(\mathrm{m^2}\), \(t\) in Tagen), \(k\approx0{,}223\) pro Tag. Überprüfe jeden Satz.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

\(f(4)=2\cdot1{,}25^{4}\approx4{,}88\). Der Zuwachs „25 % pro Tag“ ist eine Aussage über eine ganze Zeiteinheit; die momentane Rate ist mit \(k=\ln1{,}25\approx0{,}223\) etwas kleiner.

Rechne jede Zahl nach — und achte darauf, ob von einem Anteil oder einem Betrag die Rede ist.

Mittlere Rate: Sekante über ein Intervall. Momentane Rate: \(f'(t)=k\cdot f(t)\).

A9

Trickaufgabe: Wie viel schneller?

TrickAFB III

Ein Bestand wächst nach \(f(t)=200\cdot2^{t/2}\). Zwischen \(t=0\) und \(t=2\) steigt er von \(200\) auf \(400\). Bestimme ohne Rechner, um welchen Faktor die Wachstumsgeschwindigkeit bei \(t=2\) größer ist als bei \(t=0\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Wegen \(f'=k\cdot f\) verhält sich die Rate wie der Bestand: \(\frac{f'(2)}{f'(0)}=\frac{400}{200}=2\). Wer an eine „gleichmäßige“ Zunahme denkt, tippt fälschlich auf 1.

Du musst \(k\) gar nicht kennen.

Aus \(f'(t)=k\cdot f(t)\) folgt \(\frac{f'(2)}{f'(0)}=\frac{f(2)}{f(0)}\).

A10

Was passiert mit der Rate?

MixAFB III

Ein Bestand wächst nach \(f(t)=a\cdot b^{t}\). Jeweils eine Größe wird verändert. Beurteile, wie groß die Wachstumsgeschwindigkeit danach im Vergleich ist — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so groß, 2 = halb so groß, 3 = gleich groß, 4 = doppelt so groß, 5 = viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = ein Viertel so groß5 = viermal so groß

Anfangswert \(a\) verdoppelt (gleicher Zeitpunkt)

Zeitpunkt, an dem der Bestand viermal so groß ist

gleicher Bestand, aber \(k\) halbiert

Zerfall mit gleichem \(k\): Bestand auf ein Viertel gesunken (Betrag der Rate)

Zeitachse verschoben, gleicher Bestand und gleiches \(k\)

Alles folgt aus \(f'=k\cdot f\): Die Rate ist proportional zum Bestand und zu \(k\). Wo der Bestand gleich bleibt und \(k\) gleich bleibt, bleibt auch die Rate gleich.

Schreibe jedes Mal \(f'=k\cdot f\) auf und überlege, welcher Faktor sich ändert.

Doppelter Bestand → doppelte Rate; halbes \(k\) → halbe Rate.

Übungen: Wachstumsgeschwindigkeit

Übungsaufgaben