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Abituraufgaben: Wachstumsgeschwindigkeit

Wie schnell breitet sich etwas gerade aus — und wie schnell verschwindet es?

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1

Wasserhyazinthen auf einem See

AFB I–II

Wasserhyazinthen breiten sich auf einem See aus. Die bedeckte Fläche wird durch \(A(t)=2\cdot1{,}15^{t}\) beschrieben (\(t\) in Tagen, \(A\) in \(\mathrm{m^2}\)).

  1. Berechnen Sie die bedeckte Fläche nach 10 Tagen.
  2. Bestimmen Sie mit einem Differenzenquotienten (\(h=0{,}01\)) näherungsweise die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Tagen und interpretieren Sie den Wert.
  3. Weisen Sie an den Zeitpunkten \(t=0\) und \(t=10\) nach, dass \(\frac{A'(t)}{A(t)}\) (näherungsweise) konstant ist.
  4. Ermitteln Sie, ab welchem Tag täglich mehr als \(5\,\mathrm{m^2}\) neu bedeckt werden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(t=10\) in \(A(t)\) ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\frac{A(10{,}01)-A(10)}{0{,}01}\), Einheit \(\mathrm{m^2}\) pro Tag.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne den Differenzenquotienten auch bei \(t=0\) und bilde beide Quotienten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Mit \(A'(t)=k\cdot A(t)\) und \(k\approx0{,}140\) musst du \(A(t)>\frac{5}{0{,}140}\) lösen — z. B. mit der Tabelle des GTR (MENU Table).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A(10)=2\cdot1{,}15^{10}\approx8{,}09\,\mathrm{m^2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{A(10{,}01)-A(10)}{0{,}01}\approx1{,}13\).

Nach 10 Tagen wächst die bedeckte Fläche momentan um gut \(1{,}1\,\mathrm{m^2}\) pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t=0\): \(A'(0)\approx0{,}280\), \(\frac{A'(0)}{A(0)}\approx0{,}140\). \(t=10\): \(\frac{1{,}13}{8{,}09}\approx0{,}140\).

Beide Quotienten stimmen überein: Die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zur Fläche, \(k\approx0{,}140\) pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(A'(t)=0{,}140\cdot A(t)>5\iff A(t)>35{,}8\).

Tabelle: \(A(20)\approx32{,}7\), \(A(21)\approx37{,}6\). Ab dem 21. Tag (genauer ab \(t\approx20{,}6\)) werden mehr als \(5\,\mathrm{m^2}\) pro Tag neu bedeckt.

2

Abbau eines Medikaments

AFB II–III

Die Konzentration eines Medikaments im Blut wird durch \(c(t)=40\cdot0{,}8^{t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(c\) in mg/l).

Konzentration im Blut
1020304024681012t in hc in mg/lc(t)
Graph von \(c(t)=40\cdot0{,}8^{t}\) mit Tangente bei \(t=0\) (orange gestrichelt).
  1. Bestimmen Sie näherungsweise \(c'(0)\) und deuten Sie das Vorzeichen.
  2. Begründen Sie, dass \(c'(t)=k\cdot c(t)\) mit einer Konstanten \(k<0\) gilt, und geben Sie \(k\) auf drei Nachkommastellen an.
  3. Eine Ärztin sagt: „Die Konzentration nimmt jede Stunde um knapp \(9\) mg/l ab.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
  4. Ermitteln Sie, ab welchem Zeitpunkt die Konzentration um weniger als \(1\) mg/l pro Stunde abnimmt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Differenzenquotient mit kleinem \(h\), z. B. \(h=0{,}01\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Klammere im Differenzenquotienten \(c(t)\) aus: \(\frac{c(t+h)-c(t)}{h}=c(t)\cdot\frac{0{,}8^{h}-1}{h}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Gilt die Rate aus a) auch später? Berechne z. B. \(c'(3)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Gesucht ist \(|k|\cdot c(t)<1\). Löse nach \(c\) auf und dann mit der GTR-Tabelle nach \(t\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{c(0{,}01)-c(0)}{0{,}01}\approx-8{,}92\) mg/l pro h.

Negatives Vorzeichen: Die Konzentration nimmt ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{c(t+h)-c(t)}{h}=c(t)\cdot\frac{0{,}8^{h}-1}{h}\); der zweite Faktor hängt nicht von \(t\) ab und strebt gegen \(k\approx-0{,}223\).

Also \(c'(t)=k\cdot c(t)\) mit \(k\approx-0{,}223\) pro Stunde.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nur zu Beginn stimmt die Aussage: \(c(3)\approx20{,}48\), \(c'(3)\approx-4{,}57\) mg/l pro h.

Die Abnahme ist proportional zur Konzentration und wird immer kleiner; eine konstante Abnahme von \(9\) mg/l pro Stunde würde nach gut 4 Stunden eine negative Konzentration ergeben. Die Aussage ist falsch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(0{,}223\cdot c(t)<1\iff c(t)<4{,}48\) mg/l.

Tabelle: \(c(9)\approx5{,}37\), \(c(10)\approx4{,}29\). Nach knapp 10 Stunden (\(t\approx9{,}8\)) sinkt die Abnahmerate unter \(1\) mg/l pro Stunde.