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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu verknüpften Funktionen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Eigenschaften von (x − 3)·eˣ
AFB IEs ist \(f(x)=(x-3)\,e^{x}\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Für \(x\to-\infty\) geht \(e^{x}\to0\) schneller, als \(x-3\) fällt: \(f\to0\), die \(x\)-Achse ist Asymptote.
Vorzeichen von \(x-3\) und \(e^{x}>0\) betrachten.
Dominanz: \(e^{x}\) setzt sich gegen jede Potenz durch.
A2
Stimmt's? — Dominanz
AFB IFünf Behauptungen zum Grenzverhalten.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Bei Produkten entscheidet über die Nullstellen nur der Polynomteil, über das Grenzverhalten meist der e-Faktor.
Betrachte die Faktoren einzeln.
Welcher Term wächst schneller?
A3
Ableitungswerte
AFB IEs ist \(f(x)=(x^{2}-2x)\,e^{x}\) mit \(f'(x)=(x^{2}-2)\,e^{x}\). Berechne \(f'(x)\) (drei Nachkommastellen).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| x | −2 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) |
Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt allein \(x^{2}-2\): negativ zwischen \(-\sqrt2\) und \(\sqrt2\), sonst positiv.
Einsetzen in \((x^{2}-2)\,e^{x}\).
\(f'(1)=-e\).
A4
Grenzverhalten für x → ∞
MixAFB IIOrdne jede Funktion nach ihrem Verhalten für \(x\to\infty\) zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1→ +∞
2→ −∞
3→ 0
4schräge Asymptote
Der e-Faktor entscheidet: \(e^{x}\) wächst über alles hinaus, \(e^{-x}\) drückt alles auf 0. Bei Summen wie \(2x+e^{-x}\) bleibt die Gerade übrig.
Produkt oder Summe? Bei Summen mit \(e^{-x}\) bleibt der Rest übrig.
Das Vorzeichen des Polynoms bestimmt \(+\infty\) oder \(-\infty\).
A5
Hochpunkt
AFB IIBestimme die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts von \(f(x)=x^{3}e^{-x}\) (drei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=(3x^{2}-x^{3})\,e^{-x}=x^{2}(3-x)\,e^{-x}\). Bei \(x=3\) wechselt das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\): \(H(3\,|\,27e^{-3})\approx(3\,|\,1{,}344)\). Bei \(x=0\) gibt es keinen Vorzeichenwechsel (Sattelpunkt).
Produktregel, dann \(e^{-x}\) ausklammern.
\(x^{2}(3-x)=0\) — welche Stelle hat einen Vorzeichenwechsel?
A6
Wo liegt der Hochpunkt?
AFB IIOrdne die Funktionen nach der \(x\)-Koordinate ihres Hochpunkts — die kleinste oben.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(x\,e^{-2x}\)
2\(x\,e^{-x}\)
3\(x^{2}e^{-x}\)
4\(x^{3}e^{-x}\)
5\(x\,e^{-0{,}2x}\)
Hochpunkte bei \(x=0{,}5\) · \(1\) · \(2\) · \(3\) · \(5\). Allgemein: \(x^{n}e^{-x}\) hat den Hochpunkt bei \(x=n\), \(x\,e^{-kx}\) bei \(x=\frac1k\).
\((x\,e^{-kx})'=(1-kx)\,e^{-kx}\).
\((x^{n}e^{-x})'=x^{n-1}(n-x)\,e^{-x}\).
A7
Rechenkette: f(x) = (x + 1)·e^(−x)
MixAFB IIErmittle Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Extremstelle
- \(f(0)\)
- Wendestelle
- \(f(1)\) (drei Nachkommastellen)
- Steigung im Wendepunkt (drei Nachkommastellen)
\(f'(x)=-x\,e^{-x}\), \(f''(x)=(x-1)\,e^{-x}\). Hochpunkt \((0\,|\,1)\), Wendepunkt \((1\,|\,2e^{-1})\) mit Steigung \(-e^{-1}\).
\(f'(x)=e^{-x}-(x+1)\,e^{-x}\).
\(f''(x)=\bigl(-1+x\bigr)\,e^{-x}\).
A8
Fehlersuche: Kurvendiskussion
AFB IIIUntersucht wird \(f(x)=x\,e^{2x}\). Drei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Tiefpunkt \(\left(-\frac12\,\middle|\,-\frac{1}{2e}\right)\), Wendepunkt bei \(x=-1\). Für \(x\to-\infty\) ist die \(x\)-Achse Asymptote.
Rechne \(f'\) und \(f''\) selbst.
\(f''>0\): linksgekrümmt.
A9
Trickaufgabe: Schneiden sich die Graphen?
TrickAFB IIIBestimme die Anzahl der Nullstellen von \(f(x)=e^{x}-x\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=e^{x}-1=0\iff x=0\), dort ist das Minimum \(f(0)=1>0\). Also liegt \(e^{x}\) immer über \(y=x\): keine Nullstelle.
Suche das Minimum von \(f\).
Ist der kleinste Funktionswert positiv?
A10
Wohin wandert der Hochpunkt?
MixAFB IIIBetrachtet wird \(f_a(x)=x\,e^{-ax}\) mit \(a>0\); für \(a=1\) liegt der Hochpunkt bei \(x=1\). Beurteile, wo die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts im Vergleich liegt.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so groß, 2 = halb so groß, 3 = gleich groß, 4 = doppelt so groß, 5 = viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ein Viertel so groß5 = viermal so groß
\(a=2\)
\(a=4\)
\(a=0{,}5\)
\(a=0{,}25\)
\(3x\,e^{-x}\) statt \(x\,e^{-x}\)
Hochpunkt bei \(x=\frac1a\). Ein Vorfaktor streckt den Graphen nur in \(y\)-Richtung — die Extremstelle bleibt.
\(f_a'(x)=(1-ax)\,e^{-ax}\).
Was ändert ein konstanter Faktor an den Nullstellen von \(f'\)?