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Abituraufgaben: Verknüpfungen untersuchen

Eine vollständige Untersuchung und eine schräge Asymptote.

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Eine Funktion vollständig untersuchen

AFB II

Gegeben ist \(f(x)=(x^{2}-4)\cdot e^{-0{,}5x}\).

Graph von f
−6−4−224−224681012xyfTH
Graph von \(f(x)=(x^{2}-4)\,e^{-0{,}5x}\).
  1. Bestimmen Sie die Nullstellen und beschreiben Sie das Verhalten für \(x\to\pm\infty\).
  2. Bestimmen Sie die Extrempunkte (zwei Nachkommastellen).
  3. Ermitteln Sie die Wendestellen.
  4. Begründen Sie, dass \(f\) einen kleinsten Funktionswert besitzt, und geben Sie ihn an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Satz vom Nullprodukt.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(f'(x)=\left(-0{,}5x^{2}+2x+2\right)\,e^{-0{,}5x}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(f''(x)=\left(0{,}25x^{2}-2x+1\right)\,e^{-0{,}5x}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche den Tiefpunkt mit dem Grenzverhalten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x^{2}-4=0\iff x=\pm2\). Für \(x\to\infty\): \(f(x)\to0\) (Asymptote \(y=0\)); für \(x\to-\infty\): \(f(x)\to+\infty\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(x)=0\iff x^{2}-4x-4=0\iff x=2\pm2\sqrt2\).

Tiefpunkt \(T(-0{,}83\,|\,-5{,}01)\), Hochpunkt \(H(4{,}83\,|\,1{,}73)\) (Vorzeichenwechsel des Polynomteils).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(0{,}25x^{2}-2x+1=0\iff x=4\pm2\sqrt3\), also \(x\approx0{,}54\) und \(x\approx7{,}46\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(x>2\) ist \(f(x)>0\), für \(x\to-\infty\) wächst \(f\) über alle Grenzen. Der einzige Tiefpunkt ist deshalb global: kleinster Funktionswert \(f(-0{,}83)\approx-5{,}01\).

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Eine schräge Asymptote

AFB II–III

Gegeben sind \(f(x)=x+1+4e^{-x}\) und die Schar \(f_c(x)=x+1+c\,e^{-x}\) mit \(c\in\mathbb R\).

  1. Zeigen Sie, dass sich der Graph von \(f\) für \(x\to\infty\) der Geraden \(y=x+1\) nähert.
  2. Bestimmen Sie den Tiefpunkt von \(f\) exakt.
  3. Zeigen Sie, dass der Graph von \(f\) stets oberhalb von \(y=x+1\) verläuft.
  4. Untersuchen Sie, für welche Werte von \(c\) die Funktion \(f_c\) einen Tiefpunkt hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Betrachte die Differenz \(f(x)-(x+1)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(f'(x)=1-4e^{-x}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(4e^{-x}>0\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(f_c'(x)=1-c\,e^{-x}=0\) — wann ist das lösbar?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)-(x+1)=4e^{-x}\to0\) für \(x\to\infty\): \(y=x+1\) ist schräge Asymptote.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(x)=0\iff e^{-x}=\frac14\iff x=\ln4\). \(f''(x)=4e^{-x}>0\): Tiefpunkt \(T(\ln4\,|\,\ln4+2)\approx(1{,}39\,|\,3{,}39)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f(x)-(x+1)=4e^{-x}>0\) für alle \(x\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(1-c\,e^{-x}=0\iff e^{x}=c\) ist nur für \(c>0\) lösbar: \(x=\ln c\), und wegen \(f_c''(x)=c\,e^{-x}>0\) ist es ein Tiefpunkt.

Für \(c\le0\) ist \(f_c'(x)\ge1>0\): \(f_c\) ist streng monoton steigend, kein Tiefpunkt.