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Verknüpfungen untersuchen

Polynom mal e-Funktion: Wo liegen Hoch- und Wendepunkt, und wohin läuft der Graph?

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Hochpunkt und Wendepunkt im Sachkontext

Nach einer Tablette steigt die Wirkstoffkonzentration im Blut, erreicht ein Maximum und fällt wieder. Wann ist sie am höchsten — und wann sinkt sie am schnellsten?

  • Extremstelle:notwendig \(f'(x)=0\); hinreichend zusätzlich ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) oder \(f''(x)\neq0\).
  • Wendestelle:notwendig \(f''(x)=0\); hinreichend zusätzlich ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) — dort ist \(f'\) extremal.
  • Deutung:an der Wendestelle ändert sich \(f\) am stärksten; beim Medikament: stärkste Abnahme der Konzentration.
  • Vorteil e-Faktor:alle Ableitungen haben die Form \(\text{Polynom}\cdot e^{kx}\) — nur der Polynomteil kann \(0\) werden.

Ziehe den Punkt \(P\) über den Graphen der Konzentration (oder nutze die Pfeiltasten, mit Umschalt feiner). Beobachte gleichzeitig \(c'\) und \(c''\) darunter und suche die Stellen, an denen eine der beiden null wird.

Konzentration eines Wirkstoffs

Halte fest: Beim Hochpunkt wechselt \(c'\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). An der Wendestelle ist \(c''=0\) und \(c'\) hat ein Minimum — dort nimmt die Konzentration am schnellsten ab.

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Rechnen mit Polynom mal e-Faktor

Am Beispiel \(f(x)=x\cdot e^{-x}\): Produkt- und Kettenregel, dann den e-Faktor ausklammern.

Herleitung:

\(f(x)=x\cdot e^{-x}\)
| Produktregel
\(u=x,\ u'=1,\ v=e^{-x},\ v'=-e^{-x}\).
\(f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot\left(-e^{-x}\right)\)
| ausklammern
Beide Summanden enthalten \(e^{-x}\).
\(f'(x)=(1-x)\cdot e^{-x}\)
| Produktregel
Jetzt \(u=1-x,\ u'=-1\) und wieder \(v=e^{-x}\).
\(f''(x)=-e^{-x}+(1-x)\cdot\left(-e^{-x}\right)\)
| ausklammern
\(-1-(1-x)=x-2\).
\(f''(x)=(x-2)\cdot e^{-x}\)
Ergebnis
Auch die zweite Ableitung hat die Form Polynom mal \(e^{-x}\).
  • Hochpunkt:\(f'(x)=0\Leftrightarrow1-x=0\Leftrightarrow x=1\); \(f''(1)=-e^{-1}<0\) \(\Rightarrow H\bigl(1\,|\,e^{-1}\bigr)\approx(1\,|\,0{,}368)\).
  • Wendepunkt:\(f''(x)=0\Leftrightarrow x=2\), Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) \(\Rightarrow W\bigl(2\,|\,2e^{-2}\bigr)\approx(2\,|\,0{,}271)\).
  • Grenzverhalten:\(e^{x}\) setzt sich gegen jede Potenz durch: \(x\cdot e^{-x}\to0\) für \(x\to\infty\) (Asymptote \(y=0\)), \(x\cdot e^{-x}\to-\infty\) für \(x\to-\infty\).
  • Nullstellen:Satz vom Nullprodukt: \(e^{v(x)}\neq0\), also zählt nur der Polynomfaktor: \(x\cdot e^{-x}=0\Leftrightarrow x=0\). Bei Summen wie \(x+e^{x}=0\) hilft nur der Rechner.
  • GTR (fx-CG50):Menü Graph, \(Y1=Xe^{-X}\), F6 (DRAW), dann SHIFT F5 (G-SOLVE), F2 (MAX) \(\Rightarrow\) X=1, Y=0.3678794412.
  • CAS (TI-Nspire):im Graphs-Fenster Menü › Graph analysieren › Maximum und die Grenzen links und rechts anklicken.
Merke

Ableitung von Polynom mal e-Faktor: \(f(x)=p(x)\cdot e^{kx}\ \Rightarrow\ f'(x)=\bigl(p'(x)+k\cdot p(x)\bigr)\cdot e^{kx}\)

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Allgemeine Hinweise

Erst ausklammern, dann null setzen

Aus \((1-x)\,e^{-x}=0\) folgt sofort \(x=1\), weil \(e^{-x}\neq0\). Wer nicht ausklammert, sucht in einer Summe mit zwei e-Termen.

Nahansicht täuscht

\(e^{x}-x^{4}\) ist bei \(x=3\) noch stark negativ. Erst ab etwa \(x\approx8{,}6\) überholt \(e^{x}\) die Potenz — Grenzverhalten mit Dominanz begründen, nicht mit einer Wertetabelle.

f″ = 0 reicht nicht

Eine Nullstelle von \(f''\) ist nur Kandidat. Prüfe den Vorzeichenwechsel — beim e-Faktor genügt das Vorzeichen des Polynomteils.

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