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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu verketteten Funktionen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Richtig abgeleitet?
AFB IGib alle richtig abgeleiteten Funktionen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
In der fünften Zeile wurde die Potenzregel auf den Exponenten angewandt, in der sechsten fehlt die innere Ableitung \(2x\): richtig ist \(4x\,(x^{2}-3)\).
Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung.
\(\sqrt{z}\) hat die Ableitung \(\frac{1}{2\sqrt z}\).
A2
Stimmt's? — innen und außen
AFB IFünf Behauptungen zur Kettenregel.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die Kettenregel gilt immer bei einer Verkettung; bei linearer innerer Funktion ist der zusätzliche Faktor nur eine Zahl.
Frage bei jeder Funktion: Was wird zuerst gerechnet?
Leite zur Kontrolle selbst ab.
A3
Ableitungswerte in der Tabelle
AFB IEs ist \(f(x)=e^{0{,}5x^{2}}\). Berechne \(f'(x)\) an den Stellen (drei Nachkommastellen).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) |
\(f'(x)=x\cdot e^{0{,}5x^{2}}\). Weil der Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist, sind die Steigungen bei \(-x\) und \(x\) entgegengesetzt gleich.
Innere Ableitung von \(0{,}5x^{2}\) ist \(x\).
\(f'(2)=2e^{2}\).
A4
Welche innere Funktion?
MixAFB IIOrdne jede Funktion nach ihrer inneren Funktion zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1innere Funktion linear
2innere Funktion quadratisch
3keine Verkettung
\(7e^{x}\) ist ein Vielfaches, \(x^{5}-2x\) eine Summe von Potenzen — hier reicht die Faktor- und Summenregel.
Suche den Term, der „zuerst“ berechnet wird.
Bei \(e^{-x}\) ist die innere Funktion \(-x\).
A5
Ableitung an einer Stelle
AFB IIBerechne \(f'(1)\) für \(f(x)=(x^{2}+3)^{4}\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=4(x^{2}+3)^{3}\cdot2x\), also \(f'(1)=4\cdot64\cdot2=512\).
Äußere Ableitung \(4z^{3}\), innere Ableitung \(2x\).
Bei \(x=1\) ist \(z=4\).
A6
Schritte der Kettenregel
AFB IIDie Ableitung von \(f(x)=(x^{2}-4)^{5}\) soll gebildet werden. Ordne die Schritte.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Innere Funktion erkennen: \(v(x)=x^{2}-4\)
2Äußere Funktion erkennen: \(u(z)=z^{5}\)
3Beide ableiten: \(v'(x)=2x\), \(u'(z)=5z^{4}\)
4Innere Funktion einsetzen: \(u'\bigl(v(x)\bigr)=5\,(x^{2}-4)^{4}\)
5Mit der inneren Ableitung multiplizieren: \(f'(x)=10x\,(x^{2}-4)^{4}\)
Zerlegen, einzeln ableiten, zusammensetzen — mit dieser Reihenfolge geht die innere Ableitung nie verloren.
Beginne mit dem Zerlegen.
Die Multiplikation mit \(v'(x)\) kommt zum Schluss.
A7
Rechenkette: f(x) = e^(−0,5x² + 2x)
MixAFB IIErmittle Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- innere Ableitung bei \(x=1\)
- \(f'(1)\) (drei Nachkommastellen)
- Stelle mit waagerechter Tangente
- Funktionswert dort (drei Nachkommastellen)
\(f'(x)=(-x+2)\,e^{-0{,}5x^{2}+2x}\). Weil \(e^{\ldots}\neq0\), ist \(f'(x)=0\) nur für \(x=2\): Dort liegt der Hochpunkt \(\left(2\,|\,e^{2}\right)\).
\(v(x)=-0{,}5x^{2}+2x\), \(v'(x)=-x+2\).
Waagerechte Tangente: \(f'(x)=0\).
A8
Fehlersuche: sechs Ableitungen
AFB IIIDrei der sechs Ableitungen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die typischen Fehler: innere Ableitung vergessen, mit der inneren Funktion statt ihrer Ableitung multipliziert, falsche Ableitung der inneren Funktion.
Bestimme bei jeder Zeile zuerst \(v'(x)\).
\(\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^{2}}\).
A9
Trickaufgabe: erst vereinfachen
TrickAFB IIIBestimme \(f'(0)\) für \(f(x)=\sqrt{e^{2x}}\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\sqrt{e^{2x}}=e^{x}\), also \(f'(x)=e^{x}\) und \(f'(0)=1\). Mit doppelter Kettenregel kommt dasselbe heraus: \(\frac{1}{2\sqrt{e^{2x}}}\cdot2e^{2x}=e^{x}\).
Kann man den Term vor dem Ableiten vereinfachen?
\(\sqrt{a^{2}}=a\) für \(a>0\).
A10
Gestauchte und gestreckte Graphen
MixAFB IIIDer Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(g\). Beurteile, wie groß \(f'(x)\) im Vergleich zu \(g'\) an der zugehörigen inneren Stelle ist.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so groß, 2 = halb so groß, 3 = gleich groß, 4 = doppelt so groß, 5 = viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ein Viertel so groß5 = viermal so groß
\(f(x)=g(2x)\)
\(f(x)=g\left(\frac x2\right)\)
\(f(x)=g(4x)\)
\(f(x)=g(x+3)\)
\(f(x)=g\left(\frac x4\right)\)
Mit der Kettenregel: \(f(x)=g(mx+n)\Rightarrow f'(x)=m\cdot g'(mx+n)\). Eine Verschiebung (\(m=1\)) ändert die Steigungen nicht.
Innere Funktion \(v(x)=mx+n\), innere Ableitung \(m\).
Für \(g(x+3)\) ist \(m=1\).