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Abituraufgaben: Die Kettenregel

Ein viraler Hit und die Ableitung des Logarithmus.

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Ein Video geht viral

AFB I–II

Die täglichen Aufrufe eines Videos werden modellhaft durch \(f(t)=40\cdot e^{-0{,}05\,(t-8)^{2}}\) beschrieben (\(t\) in Tagen nach dem Hochladen, \(f\) in Tausend Aufrufen pro Tag).

Aufrufe eines Videos
10203040246810121416t in Tagenf in Tsd. pro Tagf(t)
Graph von \(f(t)=40\,e^{-0{,}05(t-8)^{2}}\).
  1. Berechnen Sie \(f(0)\) und interpretieren Sie den Wert.
  2. Bestimmen Sie \(f'(t)\) und zeigen Sie, dass die Aufrufzahl am 8. Tag maximal ist.
  3. Ermitteln Sie mit dem GTR, wann die Aufrufzahl am stärksten zunimmt, und geben Sie die Zunahme an.
  4. Deuten Sie die Eigenschaft \(f(8+h)=f(8-h)\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(t=0\) einsetzen; Einheit beachten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Kettenregel mit \(v(t)=-0{,}05\,(t-8)^{2}\), \(v'(t)=-0{,}1\,(t-8)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist das Maximum von \(f'\): Graph von \(f'\) zeichnen, dann SHIFT F5 (G-SOLVE), F2 (MAX).
Hinweis zu Aufgabe d)
Was bedeutet \(t=8+h\) und \(t=8-h\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(0)=40\,e^{-3{,}2}\approx1{,}63\): Am ersten Tag wird das Video etwa 1600-mal aufgerufen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(t)=40\,e^{-0{,}05(t-8)^{2}}\cdot\bigl(-0{,}1\,(t-8)\bigr)=-4\,(t-8)\,e^{-0{,}05(t-8)^{2}}\).

\(f'(t)=0\iff t=8\); \(f'\) wechselt dort von \(+\) nach \(-\): Maximum mit \(f(8)=40\), also 40 000 Aufrufe.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Maximum von \(f'\) liegt bei \(t=8-\sqrt{10}\approx4{,}84\) mit \(f'\approx7{,}67\).

Nach knapp 5 Tagen steigen die Aufrufe am stärksten, um etwa 7700 pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Graph ist symmetrisch zu \(t=8\): \(h\) Tage vor und nach dem Höhepunkt gibt es gleich viele Aufrufe — Anstieg und Abklingen verlaufen gleich schnell.

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Die Ableitung des Logarithmus

AFB II–III

Mithilfe der Kettenregel lässt sich die Ableitung von \(\ln x\) bestimmen.

  1. Zeigen Sie durch Ableiten beider Seiten von \(e^{\ln x}=x\) (für \(x>0\)), dass \((\ln x)'=\frac1x\) gilt.
  2. Bestimmen Sie die Ableitung von \(h(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)\).
  3. Ermitteln Sie die Stelle \(x>0\), an der der Graph von \(h\) am steilsten ist, und die Steigung dort.
  4. Eine Schülerin schreibt \(\left(\ln(3x)\right)'=\frac3x\). Beurteilen Sie diese Rechnung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Links Kettenregel mit äußerer Funktion \(e^{z}\), rechts \((x)'=1\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Äußere Funktion \(\ln z\), innere \(x^{2}+1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Untersuche \(h'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}\) auf ein Maximum (GTR oder Ableiten).
Hinweis zu Aufgabe d)
Leite richtig ab — oder forme mit einem Logarithmusgesetz vorher um.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\left(e^{\ln x}\right)'=e^{\ln x}\cdot(\ln x)'=x\cdot(\ln x)'\) und \((x)'=1\).

Also \(x\cdot(\ln x)'=1\iff(\ln x)'=\frac1x\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h'(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^{2}+1}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

GTR: Maximum von \(h'\) für \(x>0\) bei \(x=1\) mit \(h'(1)=1\).

Rechnerisch: \(\frac{2x}{x^{2}+1}=1\iff(x-1)^{2}=0\); für alle anderen \(x>0\) ist \(\frac{2x}{x^{2}+1}<1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Falsch: \(\left(\ln(3x)\right)'=\frac{1}{3x}\cdot3=\frac1x\).

Kontrolle: \(\ln(3x)=\ln3+\ln x\) — der Summand \(\ln3\) fällt beim Ableiten weg.