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Die Kettenregel

Steckt eine Funktion in einer anderen, wird die innere Ableitung zum Faktor.

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Innere und äußere Funktion

In \(f(x)=e^{x^{2}}\) steckt eine Funktion in einer anderen: Erst wird \(x^{2}\) berechnet, dann davon \(e\) hoch.

  • Verkettung:\(f(x)=u\bigl(v(x)\bigr)\) mit innerer Funktion \(v(x)=x^{2}\) und äußerer Funktion \(u(z)=e^{z}\).
  • Zerlegen:fragen, was zuerst gerechnet wird: in \((3x^{2}+1)^{5}\) ist \(v(x)=3x^{2}+1\) innen, \(u(z)=z^{5}\) außen.
  • Regel:äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung: \(\bigl(e^{v(x)}\bigr)'=e^{v(x)}\cdot v'(x)\).
  • Linear innen:Sonderfall \(v(x)=mx+n\): der Faktor ist die Zahl \(m\), z. B. \(\bigl(e^{3x}\bigr)'=3e^{3x}\).
  • Beispiele:\(\bigl((x^{3}-2x)^{4}\bigr)'=4(x^{3}-2x)^{3}\cdot(3x^{2}-2)\), \(\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)'=-2x\,e^{-x^{2}}\), \(\bigl(\sqrt{x^{2}+5}\bigr)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}\).

Baue die Ableitung aus Bausteinen: Wähle einen Faktor und einen Term (Klick oder Enter), dann „Prüfen“. Die Maschine zeigt innere und äußere Funktion, der Graph vergleicht deinen Bau mit der richtigen Ableitung.

Ableitung zusammenbauen

f′(x) = ·

Halte fest: Die äußere Funktion wird abgeleitet, die innere bleibt dabei unverändert stehen. Dazu kommt der Faktor \(v'(x)\) — bei nichtlinearer innerer Funktion ein Term mit \(x\).

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Warum die innere Ableitung dazukommt

Der Differenzenquotient wird so erweitert, dass zwei bekannte Quotienten entstehen.

Herleitung:

\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{u\bigl(v(x+h)\bigr)-u\bigl(v(x)\bigr)}{h}\)
| Ansatz
Differenzenquotient von \(f(x)=u\bigl(v(x)\bigr)\).
\(=\dfrac{u\bigl(v(x+h)\bigr)-u\bigl(v(x)\bigr)}{v(x+h)-v(x)}\cdot\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\)
| erweitern
Mit \(v(x+h)-v(x)\neq0\) erweitern.
\(=\dfrac{u(z+\Delta z)-u(z)}{\Delta z}\cdot\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\)
| \(z=v(x)\)
Mit \(\Delta z=v(x+h)-v(x)\); für \(h\to0\) geht auch \(\Delta z\to0\).
\(f'(x)=u'\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x)\)
Ergebnis
Der erste Quotient wird zur äußeren Ableitung an der Stelle \(z=v(x)\), der zweite zur inneren Ableitung.
  • Wachstum:\(f(t)=a\cdot e^{kt}\) hat \(f'(t)=k\cdot a\cdot e^{kt}=k\cdot f(t)\) — das Gesetz aus 3.1.1.
  • Mehrfach verkettet:von außen nach innen ableiten, alle inneren Ableitungen multiplizieren: \(\bigl(e^{(2x+1)^{2}}\bigr)'=e^{(2x+1)^{2}}\cdot2(2x+1)\cdot2\).
  • Mit Produkt:\(f(x)=x\cdot e^{-x^{2}}\) braucht Ketten- und Produktregel (3.2.3).
Merke

Kettenregel: \(f(x)=u\bigl(v(x)\bigr)\ \Rightarrow\ f'(x)=u'\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x)\)

insbesondere \(\bigl(e^{v(x)}\bigr)'=v'(x)\cdot e^{v(x)}\)

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Allgemeine Hinweise

Innere Ableitung nicht vergessen

\(\bigl(e^{x^{2}}\bigr)'=2x\,e^{x^{2}}\), nicht \(e^{x^{2}}\). Auch bei \(\bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x}\) fehlt der Faktor \(-1\) besonders oft.

Keine Potenzregel im Exponenten

\(\bigl(e^{x^{2}}\bigr)'\neq x^{2}\cdot e^{x^{2}-1}\). Die Potenzregel gilt für \(x^{n}\), nicht für Potenzen mit variablem Exponenten.

Innen stehen lassen

Beim Ableiten der äußeren Funktion bleibt die innere unverändert: \(\bigl((x^{2}+1)^{3}\bigr)'=3(x^{2}+1)^{2}\cdot2x\) — nicht ausmultiplizieren.

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