Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Behauptungen widerlegen, Modelle beurteilen, Fehler finden und allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Lena behauptet: „\((2^{x})'=x\cdot2^{x-1}\), das ist doch die Potenzregel.“ Widerlegen Sie die Behauptung.
Hinweis: Ein einziges Gegenbeispiel reicht.
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Musterlösung: Nach Lenas Regel wäre die Steigung bei \(x=0\) gleich \(0\cdot2^{-1}=0\), der Graph hätte dort eine waagerechte Tangente. \(2^{x}\) ist aber streng monoton steigend; tatsächlich gilt \((2^{x})'=\ln2\cdot2^{x}\), also \(\ln2\approx0{,}69\) bei \(x=0\). Die Potenzregel gilt nur, wenn die Variable in der Basis steht (\(x^{n}\)), nicht im Exponenten.
Zeigen Sie, dass \(f(t)=\dfrac{S}{1+c\,e^{-kSt}}\) für jede Konstante \(c\) die Differentialgleichung \(f'(t)=k\cdot f(t)\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) erfüllt.
Hinweis: Schreibe \(f(t)=S\cdot\left(1+c\,e^{-kSt}\right)^{-1}\) und rechne beide Seiten getrennt aus.
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Musterlösung: Mit \(N(t)=1+c\,e^{-kSt}\) gilt \(N'(t)=-kSc\,e^{-kSt}\). Links: \(f'(t)=S\cdot(-1)\cdot N^{-2}\cdot N'=\frac{kS^{2}c\,e^{-kSt}}{N^{2}}\). Rechts: \(S-f=\frac{S\,N-S}{N}=\frac{S\,c\,e^{-kSt}}{N}\), also \(k\cdot f\cdot(S-f)=k\cdot\frac{S}{N}\cdot\frac{S\,c\,e^{-kSt}}{N}=\frac{kS^{2}c\,e^{-kSt}}{N^{2}}\). Beide Seiten stimmen für alle \(t\) überein, unabhängig von \(c\). \(c\) legt den Anfangswert fest: \(c=\frac{S}{f(0)}-1\).
Tom meint: „Bei \(f(x)=e^{x}-x^{10}\) gewinnt für große \(x\) die Potenz, denn schon \(f(10)\) ist riesig negativ.“ Beurteilen Sie Toms Aussage.
Hinweis: Rechne auch einmal \(f(40)\) mit dem GTR.
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Musterlösung: Toms Beobachtung stimmt: \(f(10)=e^{10}-10^{10}\approx-10^{10}\). Sein Schluss ist falsch: \(e^{x}\) wächst schneller als jede Potenz. Schon bei \(x=40\) ist \(e^{40}\approx2{,}4\cdot10^{17}\) größer als \(40^{10}\approx1{,}0\cdot10^{16}\), also \(f(40)>0\). Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Aus endlich vielen Werten darf man kein Grenzverhalten ablesen.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass \(f(x)=(x^{2}+1)\cdot e^{-x}\) keine Nullstelle besitzt.
Hinweis: Betrachte die Vorzeichen der beiden Faktoren.
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Musterlösung: Nach dem Satz vom Nullprodukt müsste ein Faktor null sein. Es gilt aber \(x^{2}+1\ge1>0\) für alle \(x\) und \(e^{-x}>0\) für alle \(x\). Also ist \(f(x)>0\) für alle \(x\) — der Graph verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.
Von einer Funktion \(f(x)=a\cdot e^{kx}\) ist bekannt: \(f(2)=10\) und \(f'(2)=3\). Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem Sie \(a\) und \(k\) bestimmen, und führen Sie es aus.
Hinweis: Nutze die besondere Eigenschaft \(f'=k\cdot f\).
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Musterlösung: Da \(f'(x)=k\cdot f(x)\), folgt \(k=\frac{f'(2)}{f(2)}=\frac{3}{10}=0{,}3\). Einsetzen in \(f(2)=10\): \(a\cdot e^{0{,}6}=10\iff a=10e^{-0{,}6}\approx5{,}49\). Also \(f(x)\approx5{,}49\,e^{0{,}3x}\). Das Verfahren funktioniert für jede Stelle, an der Wert und Steigung bekannt sind.
Eine Zeitung rechnet: „Die Weltbevölkerung wuchs zuletzt um etwa 0,9 % pro Jahr. Mit \(N(t)=8\cdot e^{0{,}009t}\) (in Milliarden, \(t\) in Jahren ab 2023) leben 2100 rund 16 Milliarden Menschen auf der Erde.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweis: Rechne die Prognose nach und frage nach den Annahmen des Modells.
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Musterlösung: Rechnerisch stimmt es: \(N(77)=8\cdot e^{0{,}009\cdot77}\approx8\cdot2{,}0=16\) Milliarden. Das Modell setzt aber voraus, dass die Wachstumsrate 77 Jahre lang konstant bleibt. Tatsächlich sinkt sie seit Jahrzehnten; Ressourcen und Geburtenrückgang bremsen. Ein begrenztes oder ein Modell mit abnehmender Rate ist plausibler. Die Aussage ist als Schätzung „wenn alles so bleibt“ vertretbar, als Prognose zu sicher formuliert.
Eine Flasche Limonade (6 °C) steht im Garten (26 °C). Die Werte nach 0, 10 und 20 Minuten sind 6 °C, 14 °C und 18,8 °C. Diskutieren Sie, ob ein lineares, ein exponentielles oder ein begrenztes Modell passt.
Hinweis: Differenzen, Quotienten und Abstände zu 26 °C vergleichen.
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Musterlösung: Linear scheidet aus: Die Zuwächse \(8\) und \(4{,}8\) sind nicht gleich. Exponentiell scheidet aus: \(\frac{14}{6}\approx2{,}33\) und \(\frac{18{,}8}{14}\approx1{,}34\) sind verschieden, außerdem würde die Temperatur über alle Grenzen steigen. Begrenzt passt: Die Abstände zu 26 °C sind \(20;\,12;\,7{,}2\), ihr Quotient ist jeweils \(0{,}6\). Mit \(e^{-10k}=0{,}6\) folgt \(k\approx0{,}051\) und \(T(t)=26-20e^{-0{,}051t}\). Auch sachlich ist klar: Die Limo erwärmt sich nicht über die Lufttemperatur.
Aus der Messreihe \((0\,|\,50)\), \((2\,|\,74)\), \((4\,|\,108)\), \((6\,|\,165)\) bestimmt Ali \(k\) aus den ersten beiden Punkten, Bea aus dem ersten und letzten. Bewerten Sie beide Vorgehensweisen.
Hinweis: Berechne beide \(k\)-Werte und prüfe, wie gut die Modelle die übrigen Punkte treffen.
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Musterlösung: Ali: \(k=\frac{\ln(74/50)}{2}\approx0{,}196\); sein Modell liefert \(f(4)\approx110\) und \(f(6)\approx162\). Bea: \(k=\frac{\ln(165/50)}{6}\approx0{,}199\); ihr Modell liefert \(f(2)\approx74{,}4\) und \(f(4)\approx111\). Beide Modelle passen hier gut. Beas Vorgehen ist grundsätzlich besser: Bei weit auseinanderliegenden Punkten wirkt sich ein Messfehler weniger stark auf \(k\) aus. Noch besser wäre eine Regression über alle vier Punkte.
Untersuchen Sie \(f_k(x)=x\cdot e^{-kx}\) für \(k>0\) auf Extremstellen und formulieren Sie eine allgemeine Regel für die Lage des Hochpunkts.
Hinweis: Rechne mit \(k\) wie mit einer Zahl.
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Musterlösung: \(f_k'(x)=e^{-kx}-kx\,e^{-kx}=(1-kx)\,e^{-kx}=0\iff x=\frac1k\). Der Faktor \(1-kx\) wechselt dort von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt. \(f_k\left(\frac1k\right)=\frac1k\,e^{-1}=\frac{1}{ke}\). Regel: Je größer \(k\), desto weiter links und desto niedriger liegt der Hochpunkt \(H\left(\frac1k\,\middle|\,\frac{1}{ke}\right)\).
Jonas rechnet: \(\left(x\cdot e^{2x}\right)'=1\cdot2e^{2x}=2e^{2x}\), also hat \(f(x)=x\cdot e^{2x}\) keine Extremstelle. Überprüfen Sie seine Rechnung und seine Folgerung.
Hinweis: Welche Ableitungsregel hat Jonas benutzt?
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Musterlösung: Jonas hat die Faktoren einzeln abgeleitet und multipliziert, als ob \((u\cdot v)'=u'\cdot v'\) gälte. Richtig: \(f'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot2e^{2x}=(1+2x)\,e^{2x}\). Das ist null für \(x=-0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt \(T\bigl(-0{,}5\,|\,-0{,}5e^{-1}\bigr)\approx(-0{,}5\,|\,-0{,}18)\). Seine Folgerung ist falsch.