Typische Fehler

So wird oft gerechnet: \( (e^{3x})'=3x\cdot e^{3x-1} \).

Richtig ist: Kettenregel: \( (e^{3x})'=3e^{3x} \) — der Exponent bleibt stehen.

Variable im Exponenten: Kettenregel, nicht Potenzregel.

So wird oft gerechnet: \( (e^{-2x})'=e^{-2x} \).

Richtig ist: \( (e^{-2x})'=-2e^{-2x} \); der Graph fällt, die Ableitung ist negativ.

Immer mit der inneren Ableitung multiplizieren.

So wird oft gerechnet: \( (x\cdot e^{x})'=1\cdot e^{x}=e^{x} \).

Richtig ist: \( (x\,e^{x})'=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=(1+x)\,e^{x} \).

\( (uv)'=u'v+uv' \), niemals \( u'\cdot v' \).

So wird oft gerechnet: \( 5e^{x}=20 \Rightarrow 5x=\ln20 \).

Richtig ist: Erst teilen: \( e^{x}=4\Rightarrow x=\ln4\approx1{,}39 \).

Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren.

So wird oft gerechnet: \( e^{x}=0\Rightarrow x=\ln0 \) oder „\( x=0 \)“.

Richtig ist: \( e^{x}>0 \) für alle \( x \) — die Gleichung hat keine Lösung.

e-Faktoren werden nie null.

So wird oft gerechnet: \( x^{2}e^{x}=2x\,e^{x}\Rightarrow x=2 \).

Richtig ist: Alles auf eine Seite: \( x\,e^{x}(x-2)=0\Rightarrow x=0 \) oder \( x=2 \).

Ausklammern statt teilen — sonst gehen Lösungen verloren.

So wird oft gerechnet: Zunahme 5 % pro Jahr: „\( f(t)=a\cdot e^{1{,}05t} \)“ oder „\( k=0{,}05 \) exakt“.

Richtig ist: \( k=\ln1{,}05\approx0{,}0488 \), also \( f(t)=a\cdot e^{0{,}0488t} \).

Wachstumsfaktor \( b \) und Konstante \( k \) hängen über \( k=\ln b \) zusammen.

So wird oft gerechnet: \( (2^{x})'=2^{x} \).

Richtig ist: \( (2^{x})'=\ln2\cdot2^{x}\approx0{,}693\cdot2^{x} \).

\( f'=f \) gilt nur für die Basis \( e \).

So wird oft gerechnet: Zu \( f'=0{,}002\,f\,(500-f) \): „\( f(t)=\frac{500}{1+c\,e^{-0{,}002t}} \)“.

Richtig ist: Im Exponenten steht \( -kS\,t=-0{,}002\cdot500\,t=-t \): \( f(t)=\frac{500}{1+c\,e^{-t}} \).

Bei \( f'=k\,f\,(S-f) \) immer \( k\cdot S \) in den Exponenten.

So wird oft gerechnet: Schranke 30, Start 10: „\( f(t)=30+20e^{-kt} \)“ oder „\( 30-20e^{kt} \)“.

Richtig ist: \( f(t)=30-20e^{-kt} \) mit \( k>0 \): \( f(0)=10 \), \( f(t)\to30 \).

Probe: \( f(0) \) und Grenzwert müssen stimmen.

So wird oft gerechnet: \( x^{2}\cdot e^{-x}\to\infty \) für \( x\to\infty \), „weil \( x^{2} \) immer größer wird“.

Richtig ist: \( e^{-x} \) geht schneller gegen 0, als \( x^{2} \) wächst: \( x^{2}e^{-x}\to0 \).

\( e^{x} \) dominiert jede Potenz von \( x \).

So wird oft gerechnet: „\( f(t)=5+2{,}5t \) löst \( f'=0{,}5\,(10-f) \), denn bei \( t=0 \) gilt \( f'(0)=2{,}5=0{,}5\cdot(10-5) \).“

Richtig ist: Rechts steht \( 0{,}5\,(10-f(t))=2{,}5-1{,}25t \), links \( f'(t)=2{,}5 \) — gleich nur bei \( t=0 \), also keine Lösung.

Eine Lösung erfüllt die DGL für alle \( t \), nicht nur an einer Stelle.