Wachstum und die e-Funktion: Probe-Klassenarbeit – Mathe Klasse 13

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Datum

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Bearbeitungszeit90 Minuten

Teil A

Ohne Hilfsmittel

20 Punkte

Kein Taschenrechner, keine Formelsammlung. Empfohlene Zeit: etwa 35 Minuten.

Ableiten ohne Rechner

AFB I 4 Punkte

Berechnen Sie die Ableitungswerte ohne Taschenrechner.

a) \(f(x)=e^{x^{2}-1}\): \(f'(1)\) 1 P

a) =

b) \(g(x)=x^{2}\cdot e^{x}\): \(g'(-2)\) 2 P

b) =

c) \(h(x)=5e^{-0{,}2x}\): \(h'(0)\) 1 P

c) =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) \(f'(x)=2x\,e^{x^{2}-1}\), \(f'(1)=2e^{0}=2\) (1 P)
b) \(g'(x)=(2x+x^{2})\,e^{x}\), \(g'(-2)=(-4+4)\,e^{-2}=0\) (2 P)
c) \(h'(x)=-e^{-0{,}2x}\), \(h'(0)=-1\) (1 P).

Gleichungen mit e

AFB I 5 Punkte

Lösen Sie die Gleichungen ohne Taschenrechner.

a) \(e^{x}=1\) 1 P

a) \(x\) =

b) \(e^{2x}=e^{6}\) 1 P

b) \(x\) =

c) \((x+2)(x-5)\cdot e^{x}=0\) (kleinere Lösung zuerst) 2 P

c) \(x_1\) =

c) \(x_2\) =

d) \(e^{x-2}=1\) 1 P

d) \(x\) =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) \(x=\ln1=0\) (1 P) b) \(2x=6\Rightarrow x=3\) (1 P) c) \(e^{x}\neq0\), Satz vom Nullprodukt: \(x=-2\) oder \(x=5\) (2 P) d) \(x-2=0\Rightarrow x=2\) (1 P).

Globalverhalten

AFB II 4 Punkte

Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\cdot e^{-x}\).

Nennen Sie die zutreffenden Aussagen. (mehrere Antworten richtig) 4 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: Richtig sind 1, 3 und 4: \(e^{-x}\to0\) schneller, als \(x^{2}\) wächst; \(x^{2}\ge0\) und \(e^{-x}>0\), also \(f(x)\ge0\); Nullstelle nur bei \(x^{2}=0\). Für \(x\to-\infty\) wachsen beide Faktoren: \(f(x)\to+\infty\) (4 P).

Extrempunkt

AFB II 5 Punkte

Bestimmen Sie den Extrempunkt von \(f(x)=(x-2)\cdot e^{x}\) und seine Art.

a) \(x\)-Koordinate 2 P

a) \(x_E\) =

b) \(y\)-Koordinate (zwei Nachkommastellen) 1 P

b) \(y_E\) =

c) Art des Extrempunkts 2 P

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Erwartungshorizont: a) \(f'(x)=e^{x}+(x-2)e^{x}=(x-1)\,e^{x}=0\iff x=1\) (2 P) b) \(f(1)=-e\approx-2{,}72\) (1 P) c) \(x-1\) wechselt bei \(x=1\) von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt (2 P).

Basis umschreiben

AFB I 2 Punkte

Es soll \(4^{x}=e^{kx}\) gelten. Geben Sie \(k\) an.

Wähle die richtige Antwort. 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: \(4=e^{\ln4}\Rightarrow4^{x}=e^{x\ln4}\), also \(k=\ln4=2\ln2\approx1{,}386\) (2 P).

Teil B

Mit GTR (Casio fx-CG50) oder CAS (TI-Nspire CX CAS)

30 Punkte

Digitales Werkzeug erlaubt. Rechenweg notieren: Ansatz, Rechnerbefehl, Ergebnis. Empfohlene Zeit: etwa 55 Minuten.

Wirkstoff im Blut

AFB II 8 Punkte

Die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut wird durch \(c(t)=20t\cdot e^{-0{,}4t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden nach der Einnahme, \(c\) in mg/l).

a) Ermitteln Sie den Zeitpunkt und den Wert der höchsten Konzentration (zwei Nachkommastellen). 3 P

a) \(t_{max}\) = h

a) \(c_{max}\) = mg/l

b) Wann nimmt die Konzentration am stärksten ab, und wie groß ist die Abnahmerate dann? (zwei Nachkommastellen) 3 P

b) \(t\) = h

b) \(c'(t)\) = mg/l pro h

c) Nach dem Maximum fällt die Konzentration unter 5 mg/l. Zu welchem Zeitpunkt? (zwei Nachkommastellen) 2 P

c) \(t\) = h

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Erwartungshorizont: a) \(c'(t)=20e^{-0{,}4t}(1-0{,}4t)=0\iff t=2{,}5\); \(c(2{,}5)=50e^{-1}\approx18{,}39\) mg/l; Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) (3 P).
b) \(c''(t)=20e^{-0{,}4t}(0{,}16t-0{,}8)=0\iff t=5\) (Wendestelle); \(c'(5)=-20e^{-2}\approx-2{,}71\) mg/l pro h (3 P).
c) GTR: \(Y1=20Xe^{-0{,}4X}\), \(Y2=5\), INTSECT rechts vom Maximum: \(t\approx8{,}94\) h (2 P).

Kaffee auf dem Schreibtisch

AFB II 8 Punkte

Die Temperatur eines Kaffees wird durch \(T(t)=21+69\cdot e^{-0{,}07t}\) beschrieben (\(t\) in Minuten, \(T\) in °C).

a) Welche Temperatur hat der Kaffee nach 15 Minuten? (zwei Nachkommastellen) 2 P

a) \(T(15)\) = °C

b) Wann ist er auf 50 °C abgekühlt? (zwei Nachkommastellen) 2 P

b) \(t\) = min

c) Interpretieren Sie \(T'(0)\): Berechnen Sie den Wert (zwei Nachkommastellen). 2 P

c) \(T'(0)\) = °C pro min

d) Was bedeutet die Zahl 21 im Sachkontext? 2 P

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Erwartungshorizont: a) \(T(15)=21+69e^{-1{,}05}\approx45{,}15\) °C (2 P) b) \(69e^{-0{,}07t}=29\iff t=\frac{\ln(69/29)}{0{,}07}\approx12{,}38\) min (2 P) c) \(T'(t)=-4{,}83e^{-0{,}07t}\), \(T'(0)=-4{,}83\): Zu Beginn kühlt der Kaffee um knapp 5 °C pro Minute ab (2 P) d) 21 °C ist die Schranke (Asymptote \(y=21\)), die Raumtemperatur (2 P).

Algen im Gartenteich

AFB II 8 Punkte

Die mit Algen bedeckte Fläche eines Teichs (in m²) wurde wöchentlich gemessen:

\(t\) in Wochen	0	1	2	3	4
Fläche in m²	2,0	2,9	4,3	6,2	9,1

a) Werten Sie die Messreihe mit einer Regression \(f(t)=a\cdot e^{bt}\) aus (\(a\) zwei, \(b\) drei Nachkommastellen). 2 P

a) \(a\) = m²

a) \(b\) =

b) Welche Fläche sagt das Modell für Woche 8 voraus? (eine Nachkommastelle) 2 P

b) \(f(8)\) = m²

c) Der Teich hat 50 m². Wann wäre er laut Modell vollständig bedeckt? (zwei Nachkommastellen) 2 P

c) \(t\) = Wochen

d) Wie ist das Modell zu beurteilen? 2 P

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Erwartungshorizont: a) fx-CG50: STAT, CALC, REG, ▷, Exp, \(a\cdot e^{bx}\): \(a\approx2{,}00\), \(b\approx0{,}379\) (\(r^{2}\approx0{,}9999\)); TI-Nspire liefert \(y\approx2{,}00\cdot1{,}461^{x}\), \(\ln1{,}461\approx0{,}379\) (2 P) b) \(f(8)\approx2\cdot e^{3{,}03}\approx41{,}4\) m² (2 P) c) \(2\,e^{0{,}379t}=50\iff t=\frac{\ln25}{0{,}379}\approx8{,}50\) Wochen (2 P) d) Die Teichfläche begrenzt das Wachstum; das exponentielle Modell gilt nur bis etwa Woche 8,5 (2 P).

Verbreitung einer App

AFB III 6 Punkte

Der Anteil der Jugendlichen einer Stadt, die eine neue App nutzen, wird durch \(f(t)=\dfrac{100}{1+19\,e^{-0{,}5t}}\) beschrieben (\(t\) in Monaten, \(f\) in %).

a) Zu welchem Zeitpunkt wächst der Anteil am stärksten? (zwei Nachkommastellen) 2 P

a) \(t_W\) = Monate

b) Wie groß ist die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt? 2 P

b) \(f'(t_W)\) = % pro Monat

c) Welche Differentialgleichung erfüllt \(f\)? 2 P

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Erwartungshorizont: a) Stärkstes Wachstum bei \(f=50\): \(19e^{-0{,}5t}=1\iff t=\frac{\ln19}{0{,}5}\approx5{,}89\) Monate (2 P) b) \(f'=k\,f\,(S-f)\) mit \(kS=0{,}5\), also \(k=0{,}005\): \(f'(t_W)=0{,}005\cdot50\cdot50=12{,}5\) % pro Monat (2 P) c) Im Exponenten steht \(kS=0{,}5\) mit \(S=100\), also \(k=0{,}005\) (2 P).

Ergebnis

Erreicht

0 / 50

Prozent

0 %

Notenpunkte

—

Aufgabe	Thema	Punkte

Punkteverteilung

Aufgabe	Thema	Teil	AFB	Punkte
A1	Ableiten ohne Rechner	Teil A	AFB I	4
A2	Gleichungen mit e	Teil A	AFB I	5
A3	Globalverhalten	Teil A	AFB II	4
A4	Extrempunkt	Teil A	AFB II	5
A5	Basis umschreiben	Teil A	AFB I	2
A6	Wirkstoff im Blut	Teil B	AFB II	8
A7	Kaffee auf dem Schreibtisch	Teil B	AFB II	8
A8	Algen im Gartenteich	Teil B	AFB II	8
A9	Verbreitung einer App	Teil B	AFB III	6
Summe (AFB I: 11 P · AFB II: 33 P · AFB III: 6 P)				50

Notenschema (Notenpunkte der Oberstufe)

Punkte	Notenpunkte	Beurteilung
48 – 50 P	15	sehr gut +
45 – 47 P	14	sehr gut
43 – 44 P	13	sehr gut −
40 – 42 P	12	gut +
38 – 39 P	11	gut
35 – 37 P	10	gut −
33 – 34 P	9	befriedigend +
30 – 32 P	8	befriedigend
28 – 29 P	7	befriedigend −
25 – 27 P	6	ausreichend +
23 – 24 P	5	ausreichend
20 – 22 P	4	ausreichend −
17 – 19 P	3	mangelhaft +
14 – 16 P	2	mangelhaft
10 – 13 P	1	mangelhaft −
0 – 9 P	0	ungenügend

Probeklausur

Ohne Hilfsmittel

Mit GTR (Casio fx-CG50) oder CAS (TI-Nspire CX CAS)

Ergebnis

Punkteverteilung

Notenschema (Notenpunkte der Oberstufe)