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Übungen: Logistisches Wachstum

Erst langsam, dann rasant, dann gebremst — wo liegt der Wendepunkt?

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zu logistischem Wachstum — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Logistischen Term lesen
AFB I

Es ist \(f(t)=\dfrac{300}{1+14e^{-0{,}4t}}\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die größte Rate ist \(k\cdot\frac{S^{2}}{4}=\frac{0{,}4\cdot300}{4}=30\) — nicht der Bestand \(150\), bei dem sie auftritt.
\(f(0)=\frac{S}{1+c}\).
Im Exponenten steht \(kS\).
A2
Stimmt's? — logistisch
AFB I

Fünf Behauptungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

S/2 ist der Wert des schnellsten Wachstums, nicht der Grenzwert.
Zeichne dir eine S-Kurve.
Parabel \(y\,(S-y)\) mit Scheitel bei \(\frac S2\).
A3
Werte einer logistischen Funktion
AFB I

Es ist \(f(t)=\dfrac{200}{1+9e^{-0{,}5t}}\). Berechne die Werte (eine Nachkommastelle).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
t0248
f(t)
Zuwächse: \(26{,}4\) (0→2), \(43{,}8\) (2→4), dann \(81{,}5\) in vier Zeiteinheiten (4→8). Nach der Wendestelle \(t_W=\frac{\ln9}{0{,}5}\approx4{,}4\) werden die Zuwächse pro Zeiteinheit wieder kleiner.
Rechner: 200÷(1+9e^(−0.5×2)).
Klammer im Nenner nicht vergessen.
A4
Welches Wachstum steckt in den Daten?
MixAFB II

Ordne jede Messreihe dem passenden Modell zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1exponentiell
2begrenzt
3logistisch
Begrenzt: Zuwächse werden von Anfang an kleiner. Logistisch: Zuwächse wachsen erst und schrumpfen dann. Exponentiell: konstante Quotienten.
Berechne die Zuwächse.
Werden sie von Anfang an kleiner — oder erst größer?
A5
Größte Wachstumsrate
AFB II

Ein Bestand erfüllt \(f'(t)=0{,}002\cdot f(t)\cdot\bigl(500-f(t)\bigr)\). Bestimme die größte Wachstumsrate.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Maximal bei \(f=250\): \(0{,}002\cdot250\cdot250=125\).
Wo ist \(f\,(500-f)\) maximal?
Setze \(f=250\) ein.
A6
Wer ist zuerst am schnellsten?
AFB II

Ordne die Funktionen nach ihrer Wendestelle \(t_W\) — die früheste oben.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(\dfrac{200}{1+e^{-0{,}2t}}\)
2\(\dfrac{50}{1+49e^{-2t}}\)
3\(\dfrac{100}{1+9e^{-0{,}5t}}\)
4\(\dfrac{100}{1+99e^{-t}}\)
5\(\dfrac{1000}{1+999e^{-0{,}8t}}\)
\(t_W=\frac{\ln c}{kS}\): \(0\) · \(1{,}95\) · \(4{,}39\) · \(4{,}60\) · \(8{,}63\). Bei \(c=1\) startet der Bestand genau bei \(\frac S2\).
\(t_W=\frac{\ln c}{kS}\) — der Exponent liefert \(kS\).
\(\ln1=0\).
A7
Rechenkette: Seerosen im Teich
MixAFB II

Die Seerosenfläche eines Teichs wächst nach \(f(t)=\dfrac{600}{1+29e^{-0{,}3t}}\) (\(\mathrm{m^2}\), \(t\) in Wochen). Ermittle:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(f(0)\) m²
  2. Wendestelle \(t_W\) (zwei Nachkommastellen) Wochen
  3. größte Wachstumsrate m² pro Woche
  4. Zeit bis \(90\,\%\) bedeckt (zwei Nachkommastellen) Wochen
\(t_W=\frac{\ln29}{0{,}3}\), Rate \(\frac{0{,}3\cdot600}{4}=45\). Für \(540\,\mathrm{m^2}\): \(29e^{-0{,}3t}=\frac19\iff t=\frac{\ln261}{0{,}3}\).
\(t_W\): \(f=300\).
Größte Rate: \(kS\cdot\frac S4\).
A8
Fehlersuche: Modell aufstellen
AFB III

Gesucht ist ein logistisches Modell mit \(S=800\), \(f(0)=40\) und \(kS=0{,}4\). Drei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler: \(kS\) aus dem Exponenten wird mit \(k\) verwechselt.
Im Exponenten steht \(kS\).
Größte Rate \(=kS\cdot\frac S4\).
A9
Trickaufgabe: schon am Ziel
TrickAFB III

Für einen Bestand gilt \(f'=0{,}01\cdot f\cdot(100-f)\) mit \(f(0)=100\). Bestimme \(f(10)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Bei \(f=100\) ist \(f'=0\): Der Bestand bleibt konstant. \(f(t)=100\) ist die Gleichgewichtslösung.
Berechne \(f'(0)\).
Was passiert, wenn die Rate null ist?
A10
Wann ist das Wachstum am schnellsten?
MixAFB III

Beurteile, wie sich die Wendestelle \(t_W\) durch die Änderung verschiebt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = früher, 2 = gleich, 3 = später. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = früher3 = später
kleinerer Anfangsbestand (gleiches \(S\) und \(kS\))
größeres \(kS\)
\(S\) und \(f(0)\) verdoppelt, \(kS\) gleich
Anfangsbestand über \(\frac S2\)
\(kS\) halbiert
\(t_W=\frac{\ln c}{kS}\) mit \(c=\frac{S}{f(0)}-1\). Verdoppeln von \(S\) und \(f(0)\) lässt \(c\) gleich.
\(t_W=\frac{\ln c}{kS}\).
Wie ändert sich \(c\)?