Eine Baumkrankheit breitet sich aus
AFB I–IIIn einem Wald mit \(2000\) Bäumen breitet sich eine Krankheit aus. Die Zahl der befallenen Bäume wird durch \(f(t)=\dfrac{2000}{1+199e^{-0{,}4t}}\) beschrieben (\(t\) in Wochen).
- Geben Sie \(f(0)\) und die Schranke an und deuten Sie beide.
- Berechnen Sie die Zahl der befallenen Bäume nach 10 Wochen.
- Bestimmen Sie, wann sich die Krankheit am schnellsten ausbreitet, und die größte Ausbreitungsrate.
- Ermitteln Sie, wann \(95\,\%\) der Bäume befallen sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=10\): Zu Beginn sind 10 Bäume befallen. \(S=2000\): Höchstens alle Bäume können befallen werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(10)=\frac{2000}{1+199e^{-4}}\approx430{,}6\), also etwa 431 Bäume.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(199e^{-0{,}4t}=1\iff t=\frac{\ln199}{0{,}4}\approx13{,}23\) Wochen.
Größte Rate: \(0{,}4\cdot\frac{2000}{4}=200\) Bäume pro Woche.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(1+199e^{-0{,}4t}=\frac{20}{19}\iff e^{-0{,}4t}=\frac{1}{3781}\iff t=\frac{\ln3781}{0{,}4}\approx20{,}59\) Wochen.
Hefewachstum im Labor
AFB II–IIIIn einem klassischen Laborversuch wurde das Wachstum von Hefe gemessen. Eine logistische Regression liefert das Modell \(N(t)=\dfrac{665}{1+66e^{-0{,}54t}}\).
- Begründen Sie anhand der Zuwächse, dass ein logistisches Modell geeignet ist.
- Vergleichen Sie Modell und Messwerte bei \(t=6\) und \(t=12\).
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums und den Bestand dann.
- Zeigen Sie, dass \(N\) die Gleichung \(N'=k\cdot N\cdot(665-N)\) erfüllt, geben Sie \(k\) an und beurteilen Sie, ob das Modell über \(t=12\) hinaus sinnvoll ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zuwächse: \(19{,}4;\ 42{,}1;\ 103{,}5;\ 176{,}1;\ 162{,}6;\ 81{,}5\) — erst steigend, dann fallend. Genau das ist das Kennzeichen logistischen Wachstums.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(N(6)\approx185{,}5\) (gemessen \(174{,}6\), Abweichung etwa \(6\,\%\)); \(N(12)\approx603{,}9\) (gemessen \(594{,}8\)).
Das Modell beschreibt die Daten gut, die Abweichungen sind klein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(66e^{-0{,}54t}=1\iff t=\frac{\ln66}{0{,}54}\approx7{,}76\) h, Bestand \(\frac{665}{2}=332{,}5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mit \(kS=0{,}54\) und \(S=665\): \(k=\frac{0{,}54}{665}\approx0{,}000812\). Allgemein erfüllt \(\frac{S}{1+c\,e^{-kSt}}\) die logistische DGL (Nachweis wie in 3.3.3).
Über \(t=12\) hinaus sagt das Modell eine Annäherung an \(665\) voraus. Das ist plausibel, solange Nährstoffe und Platz gleich bleiben; werden Nährstoffe verbraucht oder Giftstoffe gebildet, kann der Bestand wieder sinken.