Logistisches Wachstum

Eine Neuigkeit verbreitet sich an einer Schule mit 1000 Schülerinnen und Schülern: Anfangs kennen sie wenige, am Ende gibt es kaum noch jemanden, dem man sie erzählen kann.

• Gesetz:\(f'(t)=k\cdot f(t)\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) mit \(k>0\) — die Rate ist proportional zum Bestand und zum Abstand zur Schranke \(S\).
• Anfangs:\(f\) klein, \(S-f\approx S\): \(f'\approx kS\cdot f\) — fast exponentielles Wachstum.
• Später:\(f\) nahe \(S\): der Abstand ist klein, das Wachstum kommt zum Erliegen — wie beim begrenzten Wachstum (3.3.1).
• Schnellstes Wachstum:\(y\cdot(S-y)\) ist eine nach unten geöffnete Parabel in \(y\) mit Scheitel bei \(y=\frac S2\) — dort ist \(f'\) am größten.

Sage zuerst voraus: Ziehe die orangefarbene Zeitmarke dorthin, wo der Bestand am schnellsten wächst (oder Pfeiltasten, mit Umschalt feiner), und wähle, wie groß der Bestand dann ist. „Prüfen“ deckt den Graphen von \(f\) und darunter die Wachstumsrate \(f'\) auf.

Halte fest: Der Graph ist S-förmig. Am Wendepunkt ist der Bestand genau halb so groß wie die Schranke, und die Wachstumsrate ist dort maximal. Liegt der Anfangsbestand schon über \(\frac S2\), wächst er von Anfang an immer langsamer.

Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangsbestand \(f(0)\) ist eine logistische Funktion; ihr Graph ist S-förmig.

• Funktionsterm:\(f(t)=\dfrac{S}{1+c\cdot e^{-kS\,t}}\) mit \(c=\dfrac{S}{f(0)}-1\), denn \(f(0)=\frac{S}{1+c}\).
• Schule:\(S=1000\), \(f(0)=10\), \(k=0{,}0008\) pro Tag: \(kS=0{,}8\), \(c=99\), also \(f(t)=\dfrac{1000}{1+99\,e^{-0{,}8t}}\).
• Grenzverhalten:\(e^{-kSt}\to0\) für \(t\to\infty\), also \(f(t)\to S\); die Gerade \(y=S\) ist Asymptote.

Herleitung:

• GTR (fx-CG50):MENU Statistik, Daten in List 1 und List 2, F2 (CALC), F3 (REG), F6 (▷), Logistic: \(y=\frac{c}{1+a\,e^{-bx}}\) — also \(c=S\) und \(b=kS\).
• CAS (TI-Nspire):Lists & Spreadsheet, Menü › Statistik › Statistische Berechnungen › Logistische Regression (d=0), gleiche Form \(y=\frac{c}{1+a\,e^{-bx}}\).