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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu \(\ln\) und Exponentialgleichungen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Rechnen mit ln
AFB IGib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(\ln\) ist nur für positive Zahlen definiert. Für Summen gibt es kein Logarithmusgesetz.
\(\ln y\) ist der Exponent, mit dem man \(e\) potenzieren muss, um \(y\) zu erhalten.
Gibt es ein \(x\) mit \(e^{x}=-2\)?
A2
Stimmt's? — Logarithmusgesetze
AFB IFünf Behauptungen zum natürlichen Logarithmus.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Drei Gesetze: ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aʳ) = r · ln a. Für Quotienten von Logarithmen gibt es kein eigenes Gesetz.
Schreibe jede Aussage als Potenz von \(e\) um.
Quotient der Zahlen ↔ Differenz der Logarithmen.
A3
Gleichungen der Form eˣ = c
AFB ILöse \(e^{x}=c\) für die angegebenen Werte (zwei Nachkommastellen).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| c | 1 | e | 10 | 0,5 | e³ |
|---|---|---|---|---|---|
| x |
\(x=\ln c\): \(\ln1=0\), \(\ln e=1\), \(\ln10\approx2{,}30\), \(\ln0{,}5\approx-0{,}69\), \(\ln e^{3}=3\). Für \(0<c<1\) ist die Lösung negativ.
\(x=\ln c\).
Rechner: Taste ln.
A4
Gleichung und Lösung
MixAFB IIOrdne jeder Gleichung ihre Lösung zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Beispiel: \(e^{2x}=9\Rightarrow2x=\ln9=2\ln3\Rightarrow x=\ln3\). Bei \(e^{-x}=2\) liefert das Logarithmieren \(-x=\ln2\).
Potenz isolieren, dann logarithmieren.
\(\ln9=\ln3^{2}=2\ln3\).
A5
Mit Summand
AFB IILöse \(3e^{0{,}5x}+2=14\) (drei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(3e^{0{,}5x}=12\Rightarrow e^{0{,}5x}=4\Rightarrow x=2\ln4\approx2{,}773\).
Erst \(-2\), dann \(:3\).
Nach dem Logarithmieren durch \(0{,}5\) teilen.
A6
Wer verdoppelt sich zuerst?
AFB IIVergleiche die Verdopplungszeiten und ordne sie — die kürzeste oben.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(f(t)=5e^{0{,}7t}\)
2\(f(t)=a\,e^{0{,}25t}\)
3Zunahme um \(20\,\%\) pro Stunde
4\(f'(t)=0{,}1\cdot f(t)\)
5\(f(t)=80\cdot1{,}05^{t}\)
\(T=\frac{\ln2}{k}\): \(0{,}99\) · \(2{,}77\) · \(3{,}80\) (\(k=\ln1{,}2\)) · \(6{,}93\) · \(14{,}21\). Der Startwert spielt keine Rolle.
\(T=\frac{\ln2}{k}\); bei Prozentangaben ist \(k=\ln b\).
\(20\,\%\): \(b=1{,}2\), \(k\approx0{,}182\).
A7
Rechenkette: Wirkstoffabbau
MixAFB IIDie Wirkstoffmenge sinkt nach \(m(t)=120\cdot e^{-0{,}18t}\) (mg, \(t\) in h). Ermittle:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(m(4)\) (zwei Nachkommastellen) mg
- Halbwertszeit (zwei Nachkommastellen) h
- Zeit bis \(10\) mg (zwei Nachkommastellen) h
- Restanteil nach 24 h (zwei Nachkommastellen) %
Halbwertszeit \(\frac{\ln2}{0{,}18}\), Zeit bis 10 mg aus \(e^{-0{,}18t}=\frac1{12}\), also \(t=\frac{\ln12}{0{,}18}\). Nach einem Tag ist nur noch gut \(1\,\%\) übrig.
\(e^{-0{,}18T}=\frac12\Rightarrow T=\frac{\ln2}{0{,}18}\).
Restanteil: \(e^{-0{,}18\cdot24}\cdot100\,\%\).
A8
Fehlersuche: Hausaufgabe
AFB IIISechs Zeilen aus einer Hausaufgabe — drei sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten ist die erste Falle: \(e^{x}+e^{x}\) ist \(2e^{x}\), nicht \(e^{2x}\) — das wäre \(e^{x}\cdot e^{x}\).
Summe oder Produkt? Das entscheidet, welches Gesetz gilt.
\(\ln x\) ist nur für \(x>0\) definiert.
A9
Trickaufgabe: versteckte quadratische Gleichung
TrickAFB IIILöse \(e^{2x}-5e^{x}+6=0\) und gib die größere Lösung an (drei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Mit \(z=e^{x}\): \(z^{2}-5z+6=0\Rightarrow z=2\) oder \(z=3\). Also \(x=\ln2\) oder \(x=\ln3\approx1{,}099\).
\(e^{2x}=\left(e^{x}\right)^{2}\).
Substituiere \(z=e^{x}\) und löse mit der p-q-Formel.
A10
Was passiert mit der Verdopplungszeit?
MixAFB IIIEin Bestand wächst nach \(f(t)=a\cdot e^{kt}\). Beurteile, wie lang die Verdopplungszeit nach der Änderung ist — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so lang, 2 = halb so lang, 3 = gleich lang, 4 = doppelt so lang, 5 = viermal so lang. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ein Viertel so lang5 = viermal so lang
\(k\) verdoppelt
\(a\) verzehnfacht
\(k\) geviertelt
\(k\) halbiert
\(e^{kt}\) durch \(e^{4kt}\) ersetzt
\(T=\frac{\ln2}{k}\) ist umgekehrt proportional zu \(k\) und hängt nicht von \(a\) ab.
Schreibe \(T=\frac{\ln2}{k}\).
Kommt \(a\) in \(T\) vor?