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Abituraufgaben: Der natürliche Logarithmus

Koffein, Halbwertszeiten und Gleichungen, die man ohne Rechner knackt.

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Koffein im Körper

AFB I–II

Nach einer Tasse Kaffee befinden sich \(150\) mg Koffein im Körper. Die Menge wird durch \(c(t)=150\cdot e^{-0{,}139t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden).

  1. Berechnen Sie die Koffeinmenge nach 5 Stunden.
  2. Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
  3. Ermitteln Sie, nach welcher Zeit weniger als \(20\) mg vorhanden sind.
  4. Die Person trinkt um 8 Uhr und um 14 Uhr je eine Tasse. Berechnen Sie die Koffeinmenge um 20 Uhr und erläutern Sie Ihren Ansatz.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(t=5\) ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(e^{-0{,}139T}=\frac12\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(150\,e^{-0{,}139t}=20\) nach \(t\) auflösen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Beide Tassen werden unabhängig voneinander abgebaut — die Mengen addieren sich.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c(5)=150\,e^{-0{,}695}\approx74{,}86\) mg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(T=\frac{\ln2}{0{,}139}\approx4{,}99\) h, also etwa 5 Stunden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(e^{-0{,}139t}=\frac{2}{15}\iff t=\frac{\ln7{,}5}{0{,}139}\approx14{,}50\) h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Erste Tasse: 12 h, zweite Tasse: 6 h Abbau.

\(150\,e^{-0{,}139\cdot12}+150\,e^{-0{,}139\cdot6}\approx93{,}44\) mg.

Weil der Abbau proportional zur jeweiligen Menge ist, kann man jede Tasse getrennt betrachten und die Restmengen addieren.

2

Gleichungen ohne Hilfsmittel

AFB II–III

Die folgenden Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu bearbeiten.

  1. Lösen Sie \(e^{2x}=5e^{x}\).
  2. Lösen Sie \((x-2)\cdot\left(e^{x}-3\right)=0\).
  3. Lösen Sie \(e^{2x}-4e^{x}=0\) und begründen Sie, warum es nur eine Lösung gibt.
  4. Untersuchen Sie, für welche Werte von \(c\) die Gleichung \(e^{2x}-c=0\) lösbar ist, und geben Sie die Lösung in Abhängigkeit von \(c\) an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Teile durch \(e^{x}\neq0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Satz vom Nullprodukt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Klammere \(e^{x}\) aus.
Hinweis zu Aufgabe d)
\(e^{2x}\) ist immer positiv.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(e^{x}=5\iff x=\ln5\) (Division durch \(e^{x}\) ist erlaubt, weil \(e^{x}\neq0\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x=2\) oder \(e^{x}=3\iff x=\ln3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(e^{x}\left(e^{x}-4\right)=0\). Der Faktor \(e^{x}\) wird nie null, also nur \(e^{x}=4\iff x=\ln4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(e^{2x}=c\) ist nur für \(c>0\) lösbar, dann \(x=\frac12\ln c\). Für \(c\le0\) gibt es keine Lösung, weil \(e^{2x}>0\).