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Der natürliche Logarithmus

Wann hat sich der Bestand verfünffacht? Der ln holt den Exponenten wieder herunter.

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Der ln als Umkehrung von eˣ

Gesucht ist oft der Exponent: Wann ist \(e^{x}=5\)? Die Antwort liefert der natürliche Logarithmus \(\ln\).

  • Definition:\(\ln y\) ist die Zahl \(x\) mit \(e^{x}=y\) — der Logarithmus zur Basis \(e\), nur für \(y>0\) definiert.
  • Umkehrung:\(e^{\ln y}=y\) für \(y>0\) und \(\ln\left(e^{x}\right)=x\) für alle \(x\).
  • Besondere Werte:\(\ln1=0\), \(\ln e=1\), \(\ln y<0\) für \(0<y<1\).
  • ln-Funktion:\(f(x)=\ln x\) mit \(x>0\) ist die Umkehrfunktion von \(e^{x}\); als Stammfunktion von \(\frac1x\) kommt sie in 1.2.5 vor.
  • Rechengesetze:\(\ln(u\cdot v)=\ln u+\ln v\), \(\ln\frac{u}{v}=\ln u-\ln v\), \(\ln\left(u^{r}\right)=r\cdot\ln u\).

Ziehe den Punkt \(P\) auf dem Graphen von \(e^{x}\) (Pfeiltasten: in Schritten von 1, mit Umschalt von 0,1). Klicke dann auf „Spiegeln“ und vergleiche die beiden Graphen.

Spiegeln an der Geraden y = x

Halte fest: Vertauscht man \(x\) und \(y\), wird aus \(y=e^{x}\) die Beziehung \(x=\ln y\). Der Graph von \(\ln\) ist der an \(y=x\) gespiegelte Graph von \(e^{x}\).

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Exponentialgleichungen lösen

Rezept: Potenz mit \(e\) isolieren, beide Seiten logarithmieren, nach der Variablen auflösen.

Herleitung:

\(200\cdot e^{0{,}4t}=1000\)
| \(:200\)
Beispiel: Wann sind aus 200 Bakterien 1000 geworden?
\(e^{0{,}4t}=5\)
| \(\ln\)
Die Potenz steht allein — erst jetzt logarithmieren.
\(0{,}4t=\ln5\)
| \(:0{,}4\)
Wegen \(\ln\left(e^{0{,}4t}\right)=0{,}4t\) fällt der Exponent herunter.
\(t=\dfrac{\ln5}{0{,}4}\approx4{,}02\)
Ergebnis
Nach gut 4 Stunden sind es 1000 Bakterien.
  • Lösbarkeit:\(e^{kx}=c\) hat für \(c>0\) genau eine Lösung, für \(c\le0\) keine.
  • Verdopplungszeit:aus \(e^{kT}=2\) folgt \(T=\frac{\ln2}{k}\); für \(k=0{,}4\) also \(T\approx1{,}73\) h.
  • GTR (fx-CG50):Taste ln: ln 5 ) ÷ 0.4 EXE liefert \(4{,}023594781\).
  • CAS (TI-Nspire):solve(200·e^(0.4·t)=1000,t) liefert die exakte Lösung mit \(\ln(5)\), ctrl enter die Näherung \(4{,}02359\).
Merke

Exponentialgleichung: \(e^{k\cdot x}=c\ \Leftrightarrow\ x=\dfrac{\ln c}{k}\quad(c>0,\ k\neq0)\)

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Allgemeine Hinweise

Erst isolieren

\(\ln\left(200\cdot e^{0{,}4t}\right)\neq200\cdot0{,}4t\). Zuerst durch \(200\) teilen, dann logarithmieren. Und: \(\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b\).

Keine Lösung

\(e^{x}=-3\) hat keine Lösung, weil \(e^{x}\) immer positiv ist. \(\ln(-3)\) gibt der Rechner als Fehler aus.

Probe mit e

Setze die Lösung ein: \(200\cdot e^{0{,}4\cdot4{,}02}\approx1000\). Eine Probe dauert Sekunden und fängt Umformungsfehler ab.

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