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Übungen: Differentialgleichungen

Gesucht ist eine Funktion — und man erkennt sie am Einsetzen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zu Differentialgleichungen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Welche Funktionen lösen f′ = −0,4·f?
AFB I

Gib alle Lösungen der DGL \(f'(t)=-0{,}4\cdot f(t)\) an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Jede Funktion \(c\cdot e^{-0{,}4t}\) löst die DGL — auch \(e^{-0{,}4t+3}=e^{3}\cdot e^{-0{,}4t}\) und \(c=0\).
Einsetzen: Ist \(f'=-0{,}4f\)?
\(e^{-0{,}4t+3}=e^{3}e^{-0{,}4t}\).
A2
Stimmt's? — Differentialgleichungen
AFB I

Fünf Behauptungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Lösungen prüft man durch Einsetzen — und zwar für jedes t.
Was wird gesucht: Zahl oder Funktion?
Gleichgewichtslösungen: \(f'=0\).
A3
Steigungen im Richtungsfeld
AFB I

Für \(f'=0{,}5\cdot(8-f)\) soll das Richtungsfeld gezeichnet werden. Berechne die Steigung der Striche.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
f024810
Steigung
Die Steigung hängt nur von \(f\), nicht von \(t\) ab: In jeder waagerechten Zeile des Richtungsfelds sind alle Striche parallel. Bei \(f=8\) liegen sie waagerecht.
Einsetzen in \(0{,}5\,(8-f)\).
Oberhalb von 8 wird die Steigung negativ.
A4
Funktion und Differentialgleichung
MixAFB II

Ordne jede Funktion der DGL zu, die sie löst.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′ = 0,3·f
2f′ = 0,3·(10 − f)
3f′ = 0,03·f·(10 − f)
Bei der logistischen DGL steht im Exponenten \(kS=0{,}03\cdot10=0{,}3\).
Erkenne den Typ am Funktionsterm.
Logistisch: \(kS\) im Exponenten.
A5
Anfangswert anpassen
AFB II

\(f(t)=a\cdot e^{0{,}2t}\) löst \(f'=0{,}2f\). Bestimme \(a\) so, dass \(f(3)=10\) gilt (drei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(a\,e^{0{,}6}=10\iff a=10e^{-0{,}6}\approx5{,}488\).
Setze \(t=3\) ein.
\(a=\frac{10}{e^{0{,}6}}\).
A6
Nachweis in Schritten
AFB II

Es soll gezeigt werden, dass \(f(t)=30-12e^{-0{,}5t}\) die DGL \(f'=0{,}5\,(30-f)\) mit \(f(0)=18\) löst. Ordne die Schritte.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Linke Seite: \(f'(t)=6e^{-0{,}5t}\)
2Rechte Seite: \(f(t)\) einsetzen: \(0{,}5\,(30-30+12e^{-0{,}5t})\)
3Rechte Seite vereinfachen: \(6e^{-0{,}5t}\)
4Vergleichen: beide Seiten gleich für alle \(t\)
5Anfangswert prüfen: \(f(0)=30-12=18\)
Linke und rechte Seite werden getrennt berechnet; erst am Ende wird verglichen. Der Anfangswert wird zusätzlich geprüft.
Beginne mit der Ableitung.
Vergleichen kommt nach beiden Rechnungen.
A7
Rechenkette: Anfangswertproblem
MixAFB II

Gegeben: \(f'=0{,}1\cdot(50-f)\), \(f(0)=10\). Ermittle:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(f'(0)\)
  2. \(c=S-f(0)\)
  3. \(f(10)\) (zwei Nachkommastellen)
  4. \(f'(10)\) (drei Nachkommastellen)
\(f(t)=50-40e^{-0{,}1t}\). \(f'(10)\) direkt aus der DGL: \(0{,}1\cdot(50-f(10))\).
\(f'(0)\) steht direkt in der DGL.
Lösung: \(S-c\,e^{-kt}\).
A8
Fehlersuche: logistische Lösung
AFB III

Geprüft wird \(f(t)=\dfrac{4}{1+e^{-2t}}\) für \(f'=0{,}5\,f\,(4-f)\). Drei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zu einer DGL gehört eine Lösungsschar; konstante Lösungen sind Gleichgewichte.
\(f(0)\) einsetzen.
Setze \(f=4\) in beide Seiten ein.
A9
Trickaufgabe: Gleichgewicht
TrickAFB III

Bestimme die positive Zahl \(S\), für die \(f(t)=S\) eine Lösung von \(f'=0{,}2\cdot f\cdot(15-f)\) ist.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Konstante Funktion: \(f'=0\). Also \(0{,}2\,S\,(15-S)=0\iff S=0\) oder \(S=15\).
Was ist die Ableitung einer Konstanten?
Nullprodukt.
A10
Vorzeichen im Richtungsfeld
MixAFB III

Beurteile das Vorzeichen der Steigung an der angegebenen Stelle des Richtungsfelds.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = negativ, 2 = null, 3 = positiv. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = negativ3 = positiv
\(f'=0{,}4f\) bei \(f=-2\)
\(f'=0{,}4\,(10-f)\) bei \(f=12\)
\(f'=0{,}1\,f\,(8-f)\) bei \(f=8\)
\(f'=0{,}1\,f\,(8-f)\) bei \(f=4\)
\(f'=0{,}4\,(10-f)\) bei \(f=10\)
\(f'=0{,}1\,f\,(8-f)\) bei \(f=-1\)
Einsetzen genügt: \(-0{,}8\) · \(-0{,}8\) · \(0\) · \(1{,}6\) · \(0\) · \(-0{,}9\).
Setze \(f\) in die rechte Seite ein.
Das Vorzeichen eines Produkts aus den Faktoren ablesen.