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Abituraufgaben: Differentialgleichungen

Infusionen, Fischfang und die Frage nach dem Gleichgewicht.

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1

Eine Infusion

AFB II

Ein Patient erhält eine Infusion mit \(2\) mg Wirkstoff pro Minute. Gleichzeitig baut der Körper pro Minute \(10\,\%\) der vorhandenen Menge ab. Für die Wirkstoffmenge \(m(t)\) (mg, \(t\) in min) gilt \(m'(t)=2-0{,}1\cdot m(t)\), \(m(0)=0\).

  1. Erläutern Sie die beiden Summanden der Differentialgleichung.
  2. Zeigen Sie, dass \(m(t)=20-20e^{-0{,}1t}\) die DGL mit dem Anfangswert löst.
  3. Bestimmen Sie den langfristigen Wert und die Zeit, bis \(18\) mg erreicht sind.
  4. Nach 30 Minuten wird die Infusion beendet. Ermitteln Sie, wann weniger als \(5\) mg im Körper sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zufuhr und Abbau.
Hinweis zu Aufgabe b)
Getrennt ableiten und einsetzen; \(m(0)\) prüfen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(e^{-0{,}1t}\to0\); \(20e^{-0{,}1t}=2\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Ab \(t=30\) gilt \(m'=-0{,}1m\) mit Startwert \(m(30)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(2\): konstante Zufuhr pro Minute. \(-0{,}1\,m\): Abbau proportional zur vorhandenen Menge.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(m'(t)=2e^{-0{,}1t}\); \(2-0{,}1\,(20-20e^{-0{,}1t})=2e^{-0{,}1t}\). Gleich für alle \(t\); \(m(0)=0\).

Umgeformt: \(m'=0{,}1\,(20-m)\) — begrenztes Wachstum mit \(S=20\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Langfristig \(20\) mg. \(e^{-0{,}1t}=0{,}1\iff t=\frac{\ln10}{0{,}1}\approx23{,}03\) min.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(m(30)=20-20e^{-3}\approx19{,}00\) mg; danach \(m(t)=19{,}00\,e^{-0{,}1(t-30)}\).

\(19{,}00\,e^{-0{,}1(t-30)}=5\iff t=30+\frac{\ln(19{,}00/5)}{0{,}1}\approx43{,}35\) min.

2

Fischbestand mit Fang

AFB III

Ein Fischbestand \(f(t)\) (in Tonnen, \(t\) in Jahren) wird mit \(f'(t)=0{,}02\cdot f(t)\cdot\bigl(50-f(t)\bigr)-2\) modelliert.

  1. Erläutern Sie die Bedeutung des Summanden \(-2\).
  2. Bestimmen Sie die Gleichgewichtswerte des Bestands.
  3. Begründen Sie mithilfe des Vorzeichens von \(f'\), welches Gleichgewicht stabil ist.
  4. Ermitteln Sie die größte jährliche Fangmenge, bei der noch ein Gleichgewicht existiert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ohne Fang wäre das Wachstum logistisch.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(f'=0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Untersuche \(f'\) unterhalb, zwischen und oberhalb der Gleichgewichte.
Hinweis zu Aufgabe d)
Ersetze \(2\) durch \(F\): Wann hat \(0{,}02\,f\,(50-f)=F\) eine Lösung?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Pro Jahr werden \(2\) t gefangen — unabhängig von der Größe des Bestands.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}02\,f\,(50-f)=2\iff f^{2}-50f+100=0\iff f=25\pm\sqrt{525}\), also \(f\approx2{,}09\) t oder \(f\approx47{,}91\) t.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwischen den Gleichgewichten ist \(f'>0\), darüber und darunter \(f'<0\).

Der obere Wert \(\approx47{,}9\) t ist stabil (der Bestand läuft von beiden Seiten darauf zu), der untere \(\approx2{,}1\) t instabil: Darunter stirbt der Bestand aus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(0{,}02\,f\,(50-f)\) ist maximal bei \(f=25\) mit dem Wert \(12{,}5\).

Bei einem Fang über \(12{,}5\) t pro Jahr ist \(f'<0\) für jeden Bestand — kein Gleichgewicht mehr, der Bestand bricht zusammen.