Differentialgleichungen

Die Wachstumsmodelle aus 3.1.1, 3.3.1 und 3.3.2 sind Gleichungen zwischen \(f\) und \(f'\) — sogenannte Differentialgleichungen.

• Differentialgleichung:Gleichung, in der eine gesuchte Funktion \(f\) und ihre Ableitung \(f'\) vorkommen. Ihre Lösung ist eine Funktion, keine Zahl.
• Drei Modelle:\(f'=k\cdot f\) (exponentiell), \(f'=k\cdot(S-f)\) (begrenzt), \(f'=k\cdot f\cdot(S-f)\) (logistisch).
• Richtungsfeld:an jedem Punkt \((t\,|\,f)\) gibt die DGL die Steigung vor — als kurzer Strich gezeichnet. Lösungskurven schmiegen sich an die Striche.
• Viele Lösungen:durch jeden Punkt geht eine Lösungskurve; erst der Anfangswert \(f(0)\) legt die Lösung fest.

Wähle oben eine Differentialgleichung. Markiere dann alle Funktionen, die sie lösen (Klick oder Enter) — die zuletzt gewählte Funktion wird orange über das Richtungsfeld gelegt. „Prüfen“ zählt, wie viele Karten richtig markiert sind.

Halte fest: Eine Lösung folgt überall den Steigungsstrichen. Zu einer DGL gehört eine ganze Schar von Lösungen, auch konstante wie \(f=0\) oder \(f=S\) — der Anfangswert wählt eine davon aus.

Ob eine Funktion eine DGL löst, zeigt man durch Einsetzen: linke Seite \(f'(t)\) und rechte Seite getrennt berechnen und vergleichen.

Herleitung:

• Allgemein:\(f(t)=S-c\cdot e^{-kt}\) löst \(f'=k\,(S-f)\) für jedes \(c\); der Anfangswert liefert \(c=S-f(0)\).
• Logistisch:\(f=S\,(1+c\,e^{-kSt})^{-1}\) ergibt mit der Kettenregel \(f'=\dfrac{kS^{2}c\,e^{-kSt}}{(1+c\,e^{-kSt})^{2}}\); \(k\,f\,(S-f)\) liefert denselben Term.
• Anfangswertproblem:DGL plus Anfangswert \(f(0)=f_{0}\) — hat genau eine Lösung.
• CAS (TI-Nspire):deSolve(y'=0.2·(20−y) and y(0)=5,t,y) liefert \(y=20-15\,e^{-0{,}2t}\) als Kontrolle.