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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu Produkten — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Richtig abgeleitet?
AFB IGib alle richtigen Ableitungen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die beiden falschen Zeilen haben nur \(u'\cdot v\) gebildet — der Summand \(u\cdot v'\) fehlt.
\((uv)'=u'v+uv'\).
Bei \((2-x)\,e^{x}\): \(-e^{x}+(2-x)\,e^{x}\).
A2
Stimmt's? — Produktregel
AFB IFünf Behauptungen zur Produktregel.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Vor der Produktregel lohnt ein Blick, ob sich der Term vereinfachen lässt.
Leite jeweils selbst ab und vergleiche.
Potenzgesetz: \(e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}\).
A3
Ableitungswerte
AFB IEs ist \(f(x)=x\cdot e^{-2x}\). Berechne \(f'(x)\) (drei Nachkommastellen).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| x | −1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) |
\(f'(x)=e^{-2x}-2x\,e^{-2x}=(1-2x)\,e^{-2x}\). Bei \(x=0{,}5\) ist die Tangente waagerecht.
\(u=x\), \(v=e^{-2x}\), \(v'=-2e^{-2x}\).
Ausklammern: \((1-2x)\,e^{-2x}\).
A4
Produktregel nötig?
MixAFB IIOrdne zu: Braucht man für die Ableitung die Produktregel?
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Produktregel nötig
2geht ohne Produktregel
Ohne Produktregel geht es, wenn ein Faktor konstant ist (\(5\), \(e^{2}\)) oder sich das Produkt vereinfachen lässt (\(e^{3x}\), \(x^{4}\)).
Hängen beide Faktoren von \(x\) ab?
Lässt sich das Produkt zusammenfassen?
A5
Steigung eines Produkts
AFB IIBerechne \(f'(1)\) für \(f(x)=x^{2}e^{x}\) (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=(2x+x^{2})\,e^{x}\), \(f'(1)=3e\approx8{,}15\).
\(u=x^{2}\), \(v=e^{x}\).
\(f'(1)=(2+1)\cdot e\).
A6
Schritte der Produktregel
AFB IIDie Ableitung von \(f(x)=(x^{2}-1)\,e^{2x}\) soll gebildet werden. Ordne die Schritte.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Faktoren festlegen: \(u=x^{2}-1\), \(v=e^{2x}\)
2Einzeln ableiten: \(u'=2x\), \(v'=2e^{2x}\)
3Einsetzen: \(2x\,e^{2x}+(x^{2}-1)\cdot2e^{2x}\)
4Ausklammern: \(\bigl(2x+2x^{2}-2\bigr)\,e^{2x}\)
5Ordnen: \(f'(x)=(2x^{2}+2x-2)\,e^{2x}\)
Durch das Ausklammern von \(e^{2x}\) bleibt ein Polynom übrig, dessen Nullstellen man direkt bestimmen kann.
Zuerst \(u\) und \(v\) festlegen.
Ausklammern kommt nach dem Einsetzen.
A7
Rechenkette: g(x) = (2x + 1)·e^(−x)
MixAFB IIErmittle Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(g'(0)\)
- Nullstelle von \(g'\)
- \(g(0{,}5)\) (drei Nachkommastellen)
- \(g''(0{,}5)\) (drei Nachkommastellen)
\(g'(x)=(1-2x)\,e^{-x}\), \(g''(x)=(2x-3)\,e^{-x}\). Wegen \(g''(0{,}5)<0\) liegt bei \(x=0{,}5\) ein Hochpunkt.
\(g'(x)=2e^{-x}-(2x+1)\,e^{-x}\).
Leite \((1-2x)\,e^{-x}\) noch einmal mit der Produktregel ab.
A8
Fehlersuche: Rechenweg
AFB IIIDrei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Kettenregel steckt oft mit drin: Wer \((e^{-x})'\) falsch bildet, bekommt ein falsches Vorzeichen.
Rechne jede Zeile selbst nach.
\(e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}\) — und \((e^{2x})'=2e^{2x}\).
A9
Trickaufgabe: Produkt mit Überraschung
TrickAFB IIIBestimme \(f'(5)\) für \(f(x)=x\cdot e^{x}\cdot e^{-x}\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(e^{x}\cdot e^{-x}=1\), also \(f(x)=x\) und \(f'(5)=1\). Die Produktregel mit drei Faktoren führt zum gleichen Ergebnis — nur viel umständlicher.
Fasse vor dem Ableiten zusammen.
\(e^{x}\cdot e^{-x}=e^{0}\).
A10
Vorzeichen von f′
MixAFB IIIFür \(f=u\cdot v\) sind an einer Stelle \(x_0\) die Werte von \(u\), \(u'\), \(v\), \(v'\) bekannt. Beurteile das Vorzeichen von \(f'(x_0)\).
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = negativ, 2 = null, 3 = positiv. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = negativ3 = positiv
\(u=2,\ u'=1,\ v=3,\ v'=2\)
\(u=0,\ u'=2,\ v=-1,\ v'=5\)
\(u=4,\ u'=0,\ v=7,\ v'=0\)
\(u=1,\ u'=-2,\ v=2,\ v'=4\)
\(u=-1,\ u'=1,\ v=3,\ v'=1\)
\(f'(x_0)=u'v+uv'\): \(8\) · \(-2\) · \(0\) · \(-4+4=0\) · \(3-1=2\).
Setze in \(u'v+uv'\) ein.
Ist \(u=0\), bleibt nur \(u'v\).