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Abituraufgaben: Die Produktregel

Werbekampagnen und eine ganze Schar von Funktionen.

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Verkaufszahlen nach einer Werbekampagne

AFB I–II

Nach dem Start einer Werbekampagne werden die täglichen Verkaufszahlen eines Produkts durch \(v(t)=60t\cdot e^{-0{,}25t}\) beschrieben (\(t\) in Tagen, \(v\) in Stück pro Tag).

Verkaufszahlen nach Kampagnenstart
204060801004812162024t in TagenStück pro Tagv(t)
Graph von \(v(t)=60t\cdot e^{-0{,}25t}\).
  1. Berechnen Sie die Verkaufszahl am Ende des zweiten Tages.
  2. Bestimmen Sie \(v'(t)\) und den Zeitpunkt der höchsten Verkaufszahl.
  3. Ermitteln Sie, wann die Verkaufszahl am stärksten sinkt.
  4. Interpretieren Sie das Verhalten von \(v\) für \(t\to\infty\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(t=2\) einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Produktregel, dann \(e^{-0{,}25t}\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist das Minimum von \(v'\): \(v''(t)=0\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(e^{-0{,}25t}\) setzt sich gegen \(60t\) durch.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(v(2)=120\,e^{-0{,}5}\approx72{,}78\) Stück pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v'(t)=60\,e^{-0{,}25t}+60t\cdot(-0{,}25)\,e^{-0{,}25t}=60\,(1-0{,}25t)\,e^{-0{,}25t}\).

\(v'(t)=0\iff t=4\), Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\): Maximum \(v(4)=240\,e^{-1}\approx88{,}29\) Stück pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(v''(t)=60\,(0{,}0625t-0{,}5)\,e^{-0{,}25t}=0\iff t=8\), Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).

Am 8. Tag sinkt die Verkaufszahl am stärksten: \(v'(8)=-60\,e^{-2}\approx-8{,}12\) Stück pro Tag.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(v(t)\to0\): Die Wirkung der Kampagne klingt ab, langfristig werden (im Modell) kaum noch Produkte verkauft. Realistisch bleibt eine Grundnachfrage, die das Modell nicht erfasst.

2

Eine Funktionenschar

AFB II–III

Gegeben sind die Funktionen \(g_a(x)=(x-a)\cdot e^{x}\) mit \(a\in\mathbb R\).

  1. Zeigen Sie, dass \(g_a'(x)=(x-a+1)\,e^{x}\) gilt.
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunkts in Abhängigkeit von \(a\).
  3. Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte auf dem Graphen von \(y=-e^{x}\) liegen.
  4. Jemand behauptet: „Jede Funktion \(g_a\) hat genau eine Nullstelle.“ Beurteilen Sie die Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Produktregel mit \(u=x-a\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(g_a'(x)=0\), dann Vorzeichen von \(x-a+1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze die \(x\)-Koordinate in \(-e^{x}\) ein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Satz vom Nullprodukt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(g_a'(x)=1\cdot e^{x}+(x-a)\,e^{x}=(x-a+1)\,e^{x}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(g_a'(x)=0\iff x=a-1\); \(x-a+1\) wechselt dort von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt.

\(g_a(a-1)=-e^{a-1}\), also \(T\left(a-1\,|\,-e^{a-1}\right)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit \(x=a-1\) ist \(y=-e^{a-1}=-e^{x}\). Alle Tiefpunkte liegen auf \(y=-e^{x}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Richtig: \((x-a)\,e^{x}=0\iff x=a\), weil \(e^{x}\neq0\). Jede Funktion der Schar hat genau die Nullstelle \(x=a\).