Die Produktregel

Ein Produkt \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) ist wie der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten \(u\) und \(v\). Ändert sich \(x\), wachsen beide Seiten gleichzeitig.

• Zuwachs:geht \(x\) auf \(x+h\), werden die Seiten um \(\Delta u\) und \(\Delta v\) länger.
• Drei Teile:der Flächenzuwachs zerfällt in \(\Delta u\cdot v\), \(u\cdot\Delta v\) und die Ecke \(\Delta u\cdot\Delta v\).
• Durch h teilen:\(\frac{\Delta u}{h}\to u'\) und \(\frac{\Delta v}{h}\to v'\), die Ecke \(\frac{\Delta u\cdot\Delta v}{h}=\frac{\Delta u}{h}\cdot\Delta v\to u'\cdot0=0\).

Zerlege den Flächenzuwachs mit „Zerlegen“ in seine Teile und lege sie mit „Umlegen“ nebeneinander. Verkleinere dann \(h\) mit dem Regler und beobachte, welcher Teil verschwindet.

Halte fest: Pro Einheit von \(h\) bleiben nur die beiden Streifen übrig — \(u'\cdot v\) und \(u\cdot v'\). Die Ecke wird für kleines \(h\) vernachlässigbar.

Für Produkte mit e-Funktion: \(u\) und \(v\) festlegen, einzeln ableiten, einsetzen, den e-Faktor ausklammern.

• Beispiel 1:\(f(x)=x\cdot e^{x}\): \(u=x,\ u'=1,\ v=e^{x},\ v'=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x}+x\,e^{x}=(1+x)\,e^{x}\).
• Beispiel 2:\(f(x)=x^{2}\cdot e^{-x}\): \(v'=-e^{-x}\) (Kettenregel) \(\Rightarrow f'(x)=2x\,e^{-x}-x^{2}e^{-x}=(2x-x^{2})\,e^{-x}\).
• Beispiel 3:\(f(x)=(3x-1)\cdot e^{2x}\Rightarrow f'(x)=3e^{2x}+(3x-1)\cdot2e^{2x}=(6x+1)\,e^{2x}\).
• Beispiel 4:\(f(x)=x\cdot e^{-x^{2}}\): \(v'=-2x\,e^{-x^{2}}\) (Kettenregel) \(\Rightarrow f'(x)=e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}}=(1-2x^{2})\,e^{-x^{2}}\).
• Form:die Ableitung von \(\text{Polynom}\cdot e^{kx}\) hat wieder die Form \(\text{Polynom}\cdot e^{kx}\).