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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu \(e\) und \(e^{x}\) — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Steckbrief der e-Funktion
AFB IEs geht um \(f(x)=e^{x}\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(e^{x}\) nähert sich für \(x\to-\infty\) der \(x\)-Achse, bleibt aber positiv. Die Potenzregel gilt nicht, weil die Variable im Exponenten steht.
Denke an den Graphen: Wo liegt er, wie ist er gekrümmt, wo schneidet er die \(y\)-Achse?
\(f''(x)=e^{x}>0\) — was folgt daraus für die Krümmung?
A2
Stimmt's? — Rund um e
AFB IFünf Behauptungen zur natürlichen Exponentialfunktion.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Nur bei der Basis e ist der Faktor k genau 1. Kleinere Basen liefern k < 1, größere k > 1.
Unterscheide: Steht \(x\) im Exponenten oder ist der Term eine Konstante?
Vergleiche die Basis mit \(e\approx2{,}718\).
A3
Annäherung an e
AFB IBerechne \(\left(1+\frac1n\right)^{n}\) auf vier Nachkommastellen.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| n | 2 | 5 | 10 | 100 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| (1 + 1/n)ⁿ |
Die Werte wachsen, aber immer langsamer — sie nähern sich \(e=2{,}71828\ldots\) Schon für \(n=10\,000\) stimmen drei Nachkommastellen.
Am Rechner:
(1+1÷n)^n — Klammern nicht vergessen.Für \(n=2\): \(1{,}5^{2}=2{,}25\).
A4
Gleiche Ableitung?
MixAFB IIOrdne jede Funktion nach ihrer Ableitung zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Ableitung eˣ
2Ableitung 3eˣ
3Ableitung 0
Konstante Summanden wie \(7\), \(-e\) oder \(3\) fallen beim Ableiten weg. \(e^{3}\) und \(3e\) sind Zahlen, keine Funktionen von \(x\).
Was passiert beim Ableiten mit einem konstanten Summanden?
\(3\,(e^{x}+1)=3e^{x}+3\).
A5
Steigung an einer Stelle
AFB IIBerechne die Steigung des Graphen von \(f(x)=e^{x}-3x\) an der Stelle \(x=2\) (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=e^{x}-3\), also \(f'(2)=e^{2}-3\approx4{,}39\).
Leite summandenweise ab.
\((3x)'=3\).
A6
Welche Steigung ist am größten?
AFB IIVergleiche die fünf Steigungen und ordne sie — die kleinste oben.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Steigung von \(e^{x}\) bei \(x=-1\)
2Steigung von \(2^{x}\) bei \(x=0\)
3Steigung von \(e^{x}\) bei \(x=0\)
4Steigung von \(3^{x}\) bei \(x=0\)
5Steigung von \(e^{x}\) bei \(x=1\)
\(e^{-1}\approx0{,}368\) · \(0{,}693\) · \(1\) · \(1{,}099\) · \(e\approx2{,}718\). Bei \(e^{x}\) ist die Steigung gleich dem Funktionswert.
Bei \(e^{x}\) gilt: Steigung = Funktionswert.
Aus der Erklärung: \(2^{x}\) hat bei 0 die Steigung \(0{,}693\), \(3^{x}\) die Steigung \(1{,}099\).
A7
Rechenkette: f(x) = 3eˣ − 2x
MixAFB IIErmittle Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(f(0)\)
- \(f'(0)\)
- \(f'(1)\) (zwei Nachkommastellen)
- \(f''(0)\)
\(f'(x)=3e^{x}-2\) und \(f''(x)=3e^{x}\). Wegen \(f''>0\) ist der Graph überall linksgekrümmt.
Faktor- und Summenregel: \((3e^{x})'=3e^{x}\), \((2x)'=2\).
Die zweite Ableitung: Der Summand \(-2\) fällt weg.
A8
Fehlersuche: Kurzvortrag über e
AFB IIISechs Sätze aus einem Kurzvortrag — drei sind falsch. Überprüfe jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Nur die Basis \(e\) liefert \(f'=f\). \(e^{x+1}\) ist nur ein Vielfaches von \(e^{x}\) und hat deshalb ebenfalls sich selbst als Ableitung.
Prüfe jede Aussage am Graphen oder durch Umformen.
Potenzgesetz: \(e^{x+1}=e^{1}\cdot e^{x}\).
A9
Trickaufgabe: Wo trifft die Tangente die x-Achse?
TrickAFB IIIAn den Graphen von \(f(x)=e^{x}\) wird bei \(x_0=5\) die Tangente gelegt. Bestimme, wo sie die \(x\)-Achse schneidet.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Tangente: \(y=e^{5}(x-5)+e^{5}=e^{5}(x-4)\), also Nullstelle \(x=4\). Allgemein: Weil Steigung und Funktionswert gleich sind, schneidet jede Tangente die \(x\)-Achse genau eine Einheit links vom Berührpunkt.
Tangente: \(y=f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0)\).
Bei \(e^{x}\) ist \(f'(5)=f(5)\) — klammere \(e^{5}\) aus.
A10
Wie steil ist b^x in (0 | 1)?
MixAFB IIIDer Graph von \(b^{x}\) geht durch \((0\,|\,1)\). Beurteile für jede Basis, welchen Wert die Steigung \(k\) dort hat.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = negativ, 2 = null, 3 = zwischen 0 und 1, 4 = genau 1, 5 = größer als 1. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = negativ5 = größer als 1
\(b=0{,}5\)
\(b=1\)
\(b=2\)
\(b=e\)
\(b=10\)
\(b=2{,}7\)
\(k=1\) gilt nur für \(b=e\). Die Basis \(2{,}7\) liegt knapp unter \(e\) — \(k\) ist knapp kleiner als 1. Für \(b=1\) ist der Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse.
Fallende Graphen haben negative Steigung.
Vergleiche jede Basis mit \(e\approx2{,}718\).