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Abituraufgaben: Die Basis e

Tangenten, Zinsen und eine besondere Zahl.

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1

Tangenten an die e-Funktion

AFB I–II

Gegeben ist \(f(x)=e^{x}\).

e-Funktion und zwei Tangenten
246−3−2−112xyf(x) = eˣy = x + 1y = e · x
Graph von \(e^{x}\) mit den Tangenten in \(x=0\) (grün) und \(x=1\) (orange).
  1. Weisen Sie nach, dass \(g(x)=x+1\) die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((0\,|\,1)\) ist.
  2. Begründen Sie anhand der Krümmung, dass \(e^{x}\ge x+1\) für alle \(x\) gilt.
  3. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle \(x=1\) und zeigen Sie, dass sie durch den Ursprung verläuft.
  4. Leiten Sie her, dass jede Tangente an den Graphen von \(f\) die \(x\)-Achse genau eine Einheit links vom Berührpunkt schneidet.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Prüfe Funktionswert und Steigung bei \(x=0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei einem linksgekrümmten Graphen liegen alle Tangenten unterhalb des Graphen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Tangentengleichung \(y=f'(1)\,(x-1)+f(1)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Stelle die Tangente an der allgemeinen Stelle \(u\) auf und setze \(y=0\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(0)=1=g(0)\) und \(f'(0)=e^{0}=1=g'(0)\). Gleicher Punkt und gleiche Steigung: \(g\) ist die Tangente.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f''(x)=e^{x}>0\): Der Graph ist überall linksgekrümmt und liegt deshalb oberhalb jeder seiner Tangenten, insbesondere oberhalb von \(y=x+1\). Gleichheit gilt nur bei \(x=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t(x)=e\,(x-1)+e=e\cdot x\). Für \(x=0\) ist \(t(0)=0\): Die Tangente geht durch den Ursprung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(t(x)=e^{u}(x-u)+e^{u}=e^{u}\,(x-u+1)\).

Wegen \(e^{u}\neq0\) gilt \(t(x)=0\iff x=u-1\). Ursache: Steigung und Funktionswert sind bei \(e^{x}\) gleich.

2

Zinsen immer öfter

AFB II–III

Eine (ausgedachte) Bank zahlt \(100\,\%\) Zinsen pro Jahr. Wird die Zinszahlung auf \(n\) gleiche Teile im Jahr verteilt, wächst ein Guthaben von \(100\) € in einem Jahr auf \(K_n=100\cdot\left(1+\frac1n\right)^{n}\) €.

  1. Berechnen Sie \(K_1\), \(K_{12}\) und \(K_{365}\) auf Cent genau.
  2. Beschreiben Sie, wie sich \(K_n\) für wachsendes \(n\) verhält, und nennen Sie den Grenzwert.
  3. Jemand behauptet: „Wenn die Bank nur oft genug Zinsen zahlt, wird man beliebig reich.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
  4. Untersuchen Sie mit einem Differenzenquotienten (\(h=0{,}001\)) die Steigung von \(e^{x}\) bei \(x=0\) und stellen Sie einen Bezug zu 3.1.2 her.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(K_{12}=100\cdot\left(1+\frac1{12}\right)^{12}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche mit \(100\cdot e\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutze den Grenzwert aus b).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(\frac{e^{0{,}001}-1}{0{,}001}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(K_1=200{,}00\) €, \(K_{12}\approx261{,}30\) €, \(K_{365}\approx271{,}46\) €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K_n\) wächst mit \(n\), aber immer langsamer, und nähert sich \(100\cdot e\approx271{,}83\) €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch: Auch bei beliebig häufiger Zinszahlung bleibt das Guthaben unter \(271{,}83\) €. Selbst der Schritt von täglicher zu stündlicher Zahlung bringt nur noch rund \(0{,}36\) €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\frac{e^{0{,}001}-1}{0{,}001}\approx1{,}0005\approx1\).

Die Tangente an \(e^{x}\) in \((0\,|\,1)\) hat die Steigung 1 — genau die Eigenschaft, durch die \(e\) in 3.1.2 festgelegt wurde.