Die Basis e

Für jede Basis \(b>0\) gilt \((b^{x})'=k\cdot b^{x}\). Die Zahl \(k\) ist genau die Steigung des Graphen im Punkt \((0\,|\,1)\).

• Aus 3.1.1:\(k=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{b^{h}-1}{h}\) hängt nur von der Basis \(b\) ab.
• Basis 2:\(k\approx0{,}693\) — die Ableitung ist etwas flacher als der Graph selbst.
• Basis 3:\(k\approx1{,}099\) — die Ableitung ist etwas steiler als der Graph selbst.
• Folgerung:zwischen 2 und 3 liegt eine Basis mit \(k=1\), also \(f'(x)=f(x)\).

Verändere die Basis \(b\) mit dem Regler oder den Tasten − und +. Suche die Basis, bei der die gestrichelte Ableitungskurve genau auf dem Graphen liegt.

Halte fest: Nur für \(b\approx2{,}72\) hat die Tangente in \((0\,|\,1)\) die Steigung \(1\) — dann liegen Graph und Ableitungsgraph genau aufeinander.

Diese besondere Basis heißt Eulersche Zahl \(e\). Die Funktion \(f(x)=e^{x}\) ist die natürliche Exponentialfunktion.

• Eulersche Zahl:\(e=2{,}718281828\ldots\) — irrational, unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
• Näherung:\(\left(1+\frac1n\right)^{n}\) kommt \(e\) für große \(n\) beliebig nahe, z. B. \(n=1000\): \(2{,}7169\).
• Eigenschaften:\(e^{x}>0\) für alle \(x\), streng monoton steigend, Punkt \((0\,|\,1)\), Asymptote \(y=0\) für \(x\to-\infty\).
• Krümmung:\(f''(x)=e^{x}>0\) — der Graph ist überall linksgekrümmt.
• Mit Faktor und Summe:\((3e^{x})'=3e^{x}\) und \((e^{x}+x^{2})'=e^{x}+2x\) — Faktor- und Summenregel gelten wie bisher.