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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zu beliebigen Basen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Umformen und ableiten
AFB IGib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(1{,}08^{t}=e^{t\ln1{,}08}\approx e^{0{,}077t}\) — der Prozentsatz ist nur eine Näherung für \(k\).
\(a=e^{\ln a}\).
Ist \(\ln1{,}08\) genau \(0{,}08\)?
A2
Stimmt's? — Basiswechsel
AFB IFünf Behauptungen zu \(a^{x}=e^{x\ln a}\).
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die Wachstumskonstante k = ln a gehört zur Basis; der Vorfaktor verschiebt nur den Startwert.
\(k=\ln a\), \(a=e^{k}\).
Vorzeichen von \(\ln a\) für \(a<1\)?
A3
Basis und Wachstumskonstante
AFB IBerechne die fehlenden Werte (drei Nachkommastellen).
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| a | 1,5 | 3 | 0,25 | ? | ? |
|---|---|---|---|---|---|
| k = ln a | 0,1 | −0,5 | |||
| a = eᵏ | 1,5 | 3 | 0,25 |
Hin: \(k=\ln a\). Zurück: \(a=e^{k}\). \(k=0{,}1\) entspricht einem Wachstum um gut \(10{,}5\,\%\) pro Zeiteinheit.
Taste ln bzw. SHIFT ln für \(e^{x}\).
\(\ln0{,}25=-\ln4\).
A4
Funktion und Ableitung
MixAFB IIOrdne jeder Funktion ihre Ableitung zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
\(\ln0{,}5=-\ln2\). Bei \(3^{2x}=e^{2x\ln3}\) kommt der Faktor \(2\ln3\) über die Kettenregel.
\((a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}\).
\(3^{2x}=e^{2x\ln3}\).
A5
Guthaben mit Zinsen
AFB IIEin Guthaben wächst nach \(K(t)=5000\cdot1{,}03^{t}\) (€, \(t\) in Jahren). Bestimme die momentane Wachstumsrate nach 10 Jahren (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(K'(t)=5000\cdot\ln1{,}03\cdot1{,}03^{t}\), \(K'(10)\approx198{,}62\) € pro Jahr — etwas weniger als die tatsächlichen Zinsen im 11. Jahr (\(\approx201{,}59\) €).
\((a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}\).
Nicht runden: \(\ln1{,}03\approx0{,}02956\).
A6
Wer steigt bei x = 0 am stärksten?
AFB IIVergleiche die Steigungen bei \(x=0\) und ordne sie — die kleinste oben.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(5\cdot0{,}9^{x}\)
2\(2^{x}\)
3\(1{,}5\,e^{0{,}5x}\)
4\(3^{x}\)
5\(10\cdot1{,}2^{x}\)
Steigungen: \(5\ln0{,}9\approx-0{,}53\) · \(\ln2\approx0{,}69\) · \(0{,}75\) · \(\ln3\approx1{,}10\) · \(10\ln1{,}2\approx1{,}82\). Hier zählt der Vorfaktor mit!
Steigung bei 0: \(c\cdot\ln a\) bzw. \(c\cdot k\).
Der Vorfaktor ändert \(k\) nicht, wohl aber die Steigung.
A7
Rechenkette: schrumpfende Gemeinde
MixAFB IIDie Einwohnerzahl einer Gemeinde sinkt nach \(N(t)=12\,000\cdot0{,}97^{t}\) (\(t\) in Jahren). Ermittle:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(k=\ln0{,}97\) (vier Nachkommastellen)
- \(N'(0)\) (eine Nachkommastelle) pro Jahr
- Halbwertszeit (zwei Nachkommastellen) Jahre
- Zeitpunkt, ab dem weniger als 200 Personen pro Jahr wegziehen Jahre
\(N'(t)=k\cdot N(t)\). Die Abnahme ist nach \(t\approx19{,}80\) Jahren auf 200 Personen pro Jahr gesunken, weil die Gemeinde kleiner geworden ist.
\(N'(0)=k\cdot12\,000\).
Letzter Schritt: \(|N'(t)|=|k|\cdot N(t)=200\) nach \(N(t)\), dann nach \(t\) auflösen.
A8
Fehlersuche: Umformungen
AFB IIIDrei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Wer den Prozentsatz als \(k\) nimmt oder die Potenzregel auf \(a^{x}\) anwendet, rechnet falsch — \(k\) ist immer \(\ln a\).
Rechne jede Zeile mit \(a^{x}=e^{x\ln a}\) nach.
\(e^{0{,}3}\approx1{,}34986\).
A9
Trickaufgabe: gesuchte Basis
TrickAFB IIIBestimme die Basis \(a\), für die \(\left(a^{x}\right)'=2\cdot a^{x}\) gilt (drei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\ln a=2\iff a=e^{2}\approx7{,}389\). Die naheliegende, aber falsche Antwort \(a=2\) liefert nur den Faktor \(\ln2\approx0{,}693\).
Der Faktor vor \(a^{x}\) ist \(\ln a\).
Löse \(\ln a=2\).
A10
Was passiert mit k?
MixAFB IIIBeurteile, wie sich die Wachstumskonstante \(k\) durch die Änderung verhält.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so groß, 2 = halb so groß, 3 = gleich groß, 4 = doppelt so groß, 5 = viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ein Viertel so groß5 = viermal so groß
Basis \(a\) durch \(a^{2}\) ersetzt
Basis \(a\) durch \(\sqrt a\) ersetzt
Basis \(a\) durch \(a^{4}\) ersetzt
Basis \(a\) durch \(\sqrt[4]{a}\) ersetzt
Funktion mit \(5\) multipliziert
\(\ln(a^{r})=r\cdot\ln a\): Potenzieren der Basis multipliziert \(k\). Ein Vorfaktor ändert \(k\) nicht.
\(k=\ln a\).
Logarithmusgesetz \(\ln(a^{r})=r\ln a\).