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Abituraufgaben: Von aˣ zur Basis e

Streamingboom und Steigungen verschiedener Basen.

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1

Abonnenten eines Streamingdienstes

AFB I–II

Die Zahl der Abonnenten eines Streamingdienstes wird durch \(N(t)=2{,}4\cdot1{,}35^{t}\) beschrieben (\(t\) in Jahren seit Anfang 2020, \(N\) in Millionen).

  1. Stellen Sie \(N\) in der Form \(N(t)=2{,}4\cdot e^{kt}\) dar.
  2. Berechnen Sie \(N'(3)\) und interpretieren Sie den Wert.
  3. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Abonnentenzahl um mehr als 3 Millionen pro Jahr zunimmt.
  4. Beurteilen Sie die Eignung des Modells für eine Prognose im Jahr 2040.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(k=\ln1{,}35\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(N'(t)=2{,}4\cdot\ln1{,}35\cdot1{,}35^{t}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(N'(t)=3\) nach \(t\) auflösen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne \(N(20)\) und vergleiche mit der Weltbevölkerung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(k=\ln1{,}35\approx0{,}3001\), also \(N(t)=2{,}4\,e^{0{,}3001\,t}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(N'(3)=2{,}4\cdot\ln1{,}35\cdot1{,}35^{3}\approx1{,}77\).

Anfang 2023 wächst die Zahl der Abonnenten momentan um etwa 1,77 Millionen pro Jahr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(0{,}7203\cdot1{,}35^{t}=3\iff t=\frac{\ln\left(3:0{,}7203\right)}{\ln1{,}35}\approx4{,}75\).

Ab etwa Herbst 2024 kommen mehr als 3 Millionen Abonnenten pro Jahr hinzu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(N(20)=2{,}4\cdot1{,}35^{20}\approx970\) Millionen.

Das ist eine unrealistisch große Zahl für einen einzelnen Anbieter; der Markt ist begrenzt. Langfristig ist ein begrenztes oder logistisches Modell sinnvoller.

2

Steigungen von aˣ

AFB II–III

Betrachtet werden die Funktionen \(f_a(x)=a^{x}\) mit \(a>0\), \(a\neq1\).

  1. Zeigen Sie, dass die Graphen von \(2^{x}\) und \(0{,}5^{x}\) symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen.
  2. Geben Sie die Steigungen beider Graphen an der Stelle \(x=0\) an.
  3. Berechnen Sie die Stelle, an der der Graph von \(2^{x}\) die Steigung \(1\) hat.
  4. Leiten Sie für \(a>1\) eine allgemeine Formel für die Stelle mit Steigung 1 her und begründen Sie, warum sie für \(a=e\) den Wert \(0\) liefert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(0{,}5^{x}=2^{-x}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(k=\ln a\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\ln2\cdot2^{x}=1\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(\ln a\cdot a^{x}=1\iff a^{x}=\frac{1}{\ln a}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(0{,}5^{x}=\left(2^{-1}\right)^{x}=2^{-x}\): Der Graph entsteht durch Spiegelung von \(2^{x}\) an der \(y\)-Achse.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\ln2\approx0{,}693\) bzw. \(\ln0{,}5=-\ln2\approx-0{,}693\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(2^{x}=\frac{1}{\ln2}\iff x=\frac{-\ln(\ln2)}{\ln2}\approx0{,}529\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(a^{x}=\frac1{\ln a}\iff x\ln a=-\ln(\ln a)\iff x=-\frac{\ln(\ln a)}{\ln a}\) (für \(a>1\) ist \(\ln a>0\)).

Für \(a=e\): \(\ln(\ln e)=\ln1=0\), also \(x=0\) — die e-Funktion hat in \((0\,|\,1)\) die Steigung 1.