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Übungen: Begrenztes Wachstum

Immer näher, nie ganz da — wie schnell schließt sich die Lücke?

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zu begrenztem Wachstum — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Steckbrief eines begrenzten Wachstums
AFB I

Es ist \(f(t)=80-60\,e^{-0{,}05t}\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(f'(t)=3e^{-0{,}05t}\) ist positiv, wird aber immer kleiner. Die Schranke \(80\) wird nie erreicht.
Form \(S-(S-f(0))\,e^{-kt}\).
\(f'(t)=k\,(S-f(0))\,e^{-kt}\).
A2
Stimmt's? — begrenztes Wachstum
AFB I

Fünf Behauptungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke das Bild: Die Lücke zur Schranke schrumpft exponentiell.
Schreibe den Term in der Form \(S-(S-f(0))\,e^{-kt}\).
Rate \(=k\cdot\) Lücke.
A3
Werte eines begrenzten Wachstums
AFB I

Es ist \(f(t)=40-32\,e^{-0{,}2t}\). Berechne die Werte (zwei Nachkommastellen).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
t051020
f(t)
Die Lücke zur Schranke \(40\) beträgt \(32\), \(32e^{-1}\approx11{,}77\), \(32e^{-2}\approx4{,}33\), \(32e^{-4}\approx0{,}59\) — sie schrumpft in gleichen Zeiten um den gleichen Faktor.
Einsetzen, Rechner: 40−32e^(−0.2×5).
\(f(0)=40-32\).
A4
Welches Modell passt?
MixAFB II

Ordne jeden Vorgang dem passenden Modell zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1begrenzt
2exponentiell
3linear
Begrenzt: Die Änderung hängt vom Abstand zu einem Endwert ab (Raumtemperatur, volle Ladung, Wortschatz). Bei konstanter Änderung ist das Wachstum linear.
Gibt es einen Endwert, dem sich die Größe nähert?
Ist die Änderung konstant oder proportional zu etwas?
A5
Getränk im Kühlschrank
AFB II

Ein Getränk mit \(20\) °C kommt in einen Kühlschrank mit \(4\) °C (\(k=0{,}3\) pro Stunde). Bestimme, wann es \(4{,}5\) °C hat (zwei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(T(t)=4+16e^{-0{,}3t}\). \(16e^{-0{,}3t}=0{,}5\iff t=\frac{\ln32}{0{,}3}\approx11{,}55\) h.
\(S=4\), \(f(0)=20\).
Löse \(16e^{-0{,}3t}=0{,}5\).
A6
Wer nähert sich am schnellsten?
AFB II

Fünf begrenzte Vorgänge. Vergleiche, wie schnell sich die Lücke zur Schranke halbiert — die kürzeste Zeit oben.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(f(t)=50-30\cdot0{,}8^{t}\)
2Lücke halbiert sich alle 4 min
3Nach 10 min ist noch ein Viertel der Lücke übrig
4\(k=0{,}1\) pro min
5\(f'=0{,}05\cdot(S-f)\), \(t\) in min
Halbierungszeiten der Lücke: \(3{,}1\) · \(4\) · \(5\) · \(6{,}9\) · \(13{,}9\) Minuten. Formel: \(\frac{\ln2}{k}\).
Halbierungszeit der Lücke: \(\frac{\ln2}{k}\).
Bei \(0{,}8^{t}\) ist \(k=-\ln0{,}8\).
A7
Rechenkette: Braten im Ofen
MixAFB II

Die Kerntemperatur eines Bratens im \(160\) °C heißen Ofen: \(T(t)=160-150\,e^{-0{,}015t}\) (\(t\) in min). Ermittle:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(T(0)\) °C
  2. \(T(60)\) (zwei Nachkommastellen) °C
  3. \(T'(0)\) °C/min
  4. Zeit bis \(70\) °C (zwei Nachkommastellen) min
\(T'(t)=2{,}25\,e^{-0{,}015t}\). Für \(70\) °C: \(150e^{-0{,}015t}=90\iff t=\frac{\ln(5/3)}{0{,}015}\approx34{,}06\) min.
\(T'(t)=0{,}015\cdot150\,e^{-0{,}015t}\).
Lücke \(90\) °C bei \(70\) °C Kerntemperatur.
A8
Fehlersuche: Modell für ein Getränk
AFB III

Ein Getränk mit \(5\) °C steht im \(25\) °C warmen Raum und hat nach 10 min \(15\) °C. Drei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfe jede Zeile.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
\(f'(0)=20k=20\cdot0{,}0693\approx1{,}39\). Die Lücke halbiert sich alle 10 Minuten.
Rechne mit \(k=\frac{\ln2}{10}\).
Welche DGL gehört zum begrenzten Wachstum?
A9
Trickaufgabe: zwei Tassen Tee
TrickAFB III

Zwei Tassen Tee (90 °C und 70 °C) stehen im selben 20 °C warmen Raum und kühlen mit gleichem \(k\) ab. Nach 10 min hat die erste 60 °C. Bestimme die Temperatur der zweiten (eine Nachkommastelle).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Lücke der ersten schrumpft von 70 auf 40, also mit dem Faktor \(\frac47\). Die zweite: \(50\cdot\frac47\approx28{,}6\), also \(48{,}6\) °C — nicht 40 °C, denn es schrumpft die Lücke, nicht die Temperatur um 30 °C.
Denke an die Lücke zur Raumtemperatur.
Gleiches \(k\) ⇒ gleicher Faktor für die Lücke in gleicher Zeit.
A10
Wie lange bis zur halben Lücke?
MixAFB III

Bei \(f(t)=S-(S-f(0))\,e^{-kt}\) wird eine Größe verändert. Beurteile die neue Halbierungszeit der Lücke.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so lang, 2 = halb so lang, 3 = gleich lang, 4 = doppelt so lang, 5 = viermal so lang. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ein Viertel so lang5 = viermal so lang
\(k\) verdoppelt
\(k\) halbiert
Schranke \(S\) erhöht
Anfangswert \(f(0)\) halbiert
\(k\) vervierfacht
Die Halbierungszeit \(\frac{\ln2}{k}\) hängt nur von \(k\) ab.
Halbierungszeit \(=\frac{\ln2}{k}\).
Kommen \(S\) oder \(f(0)\) vor?