Ein Akku wird geladen
AFB I–IIDer Ladestand eines Akkus wird beim Laden durch \(Q(t)=100-80\,e^{-0{,}03t}\) beschrieben (\(t\) in Minuten, \(Q\) in Prozent).
- Geben Sie den Ladestand zu Beginn und die Schranke an und deuten Sie beide.
- Berechnen Sie den Ladestand nach 30 Minuten.
- Bestimmen Sie, nach welcher Zeit der Akku zu \(90\,\%\) geladen ist.
- Zeigen Sie, dass \(Q'(t)=0{,}03\cdot\bigl(100-Q(t)\bigr)\) gilt, und erläutern Sie, warum das Laden gegen Ende immer langsamer wird.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(Q(0)=20\): Der Akku startet mit \(20\,\%\). Schranke \(100\,\%\): voll geladen, wird im Modell nie ganz erreicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(Q(30)=100-80e^{-0{,}9}\approx67{,}47\,\%\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(e^{-0{,}03t}=\frac18\iff t=\frac{\ln8}{0{,}03}\approx69{,}31\) min.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(Q'(t)=2{,}4\,e^{-0{,}03t}\); \(0{,}03\,(100-Q(t))=0{,}03\cdot80e^{-0{,}03t}=2{,}4e^{-0{,}03t}\).
Die Laderate ist proportional zur fehlenden Ladung — je voller der Akku, desto kleiner die Rate.
Messreihe einer Abkühlung
AFB II–IIIEin Tee kühlt in einem Raum mit \(20\) °C ab. Die Tabelle zeigt Messwerte.
- Begründen Sie mithilfe der Messwerte, dass ein begrenztes Modell geeignet ist.
- Bestimmen Sie aus den Werten bei \(t=0\) und \(t=20\) ein Modell \(T(t)=20+70e^{-kt}\).
- Ermitteln Sie mit dem Modell, wann der Tee \(25\) °C hat.
- Eine Mitschülerin schlägt \(T(t)=90\cdot b^{t}\) vor. Beurteilen Sie diesen Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Abstände zur Raumtemperatur: \(70;\ 49{,}1;\ 35{,}0;\ 24{,}2;\ 17{,}5\). Quotienten aufeinanderfolgender Abstände: \(0{,}70;\ 0{,}71;\ 0{,}69;\ 0{,}72\) — nahezu konstant.
Die Lücke nimmt exponentiell ab: begrenztes Modell mit \(S=20\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(e^{-20k}=\frac14\iff k=\frac{\ln4}{20}\approx0{,}0693\), also \(T(t)=20+70e^{-0{,}0693\,t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(e^{-kt}=\frac1{14}\iff t=\frac{\ln14}{0{,}0693}\approx38{,}07\) min.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(90\cdot b^{t}\to0\): Der Tee würde auf \(0\) °C abkühlen — kälter als der Raum. Auch die Quotienten der Temperaturen selbst (\(0{,}77;\ 0{,}80;\ \ldots\)) sind nicht konstant. Das Modell ist ungeeignet.