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Begrenztes Wachstum

Kalte Limo im warmen Garten: Warum wird sie immer langsamer wärmer?

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Die Rate hängt vom Abstand zur Schranke ab

Eine kalte Limo im warmen Garten erwärmt sich erst schnell, dann immer langsamer — sie nähert sich der Lufttemperatur, übersteigt sie aber nie.

  • Schranke \(S\):der Wert, dem sich der Bestand nähert (hier die Lufttemperatur).
  • Abstand:\(S-f(t)\) — so viel fehlt noch bis zur Schranke.
  • Gesetz:\(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) mit \(k>0\) — die Änderungsrate ist proportional zum Abstand.
  • Beispiel:Limo mit \(f(0)=6\) °C, \(S=24\) °C, \(k=0{,}1\) pro Minute: \(f'(0)=0{,}1\cdot18=1{,}8\) °C pro Minute.
  • Vergleich:beim exponentiellen Wachstum ist \(f'\) proportional zum Bestand (3.1.1), hier zum Abstand.

Starte die Simulation mit ▶ oder gehe mit „+1 Minute“ schrittweise vor. Vergleiche die grüne Tangentensteigung mit der orangefarbenen Lücke und verändere dann \(k\).

Temperatur im Garten

Halte fest: \(f'(t):\bigl(S-f(t)\bigr)\) ist zu jedem Zeitpunkt gleich \(k\). Je kleiner die Lücke, desto flacher der Graph — er nähert sich \(y=S\), erreicht die Gerade aber nie.

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Die Funktionsgleichung und die Asymptote

Der Abstand zur Schranke nimmt exponentiell ab — daraus folgt die Funktionsgleichung.

Herleitung:

\(d(t)=S-f(t)\)
| Abstand
Neue Größe: die Lücke zur Schranke.
\(d'(t)=-f'(t)=-k\cdot d(t)\)
| ableiten
Die Lücke schrumpft proportional zu sich selbst — exponentielle Abnahme (3.1.1).
\(d(t)=d(0)\cdot e^{-kt}\)
| einsetzen
Nach 3.2.1 hat \(d(0)\cdot e^{-kt}\) genau die Ableitung \(-k\cdot d(t)\).
\(S-f(t)=\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot e^{-kt}\)
| nach \(f(t)\)
\(d\) durch \(S-f\) ersetzen.
\(f(t)=S-\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot e^{-kt}\)
Ergebnis
Limo: \(f(t)=24-18\,e^{-0{,}1t}\).
  • Asymptote:wegen \(e^{-kt}\to0\) gilt \(f(t)\to S\) für \(t\to\infty\); die Gerade \(y=S\) ist waagerechte Asymptote.
  • Limo nach 10 min:\(f(10)=24-18\,e^{-1}\approx17{,}4\) °C.
  • Wann 20 °C?\(24-18\,e^{-0{,}1t}=20\Leftrightarrow e^{-0{,}1t}=\frac{4}{18}\Leftrightarrow t=\frac{\ln4{,}5}{0{,}1}\approx15{,}0\) min.
  • Als DGL:\(f'=k\cdot(S-f)\) ist die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums; Lösungen prüfen in 3.3.3.
  • Abkühlen:für \(f(0)>S\) ist der Abstand negativ; dieselbe Formel beschreibt die Annäherung von oben.
Merke

Begrenztes Wachstum: \(f(t)=S-\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot e^{-kt}\quad\text{mit}\quad f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\)

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Allgemeine Hinweise

Minus im Exponenten

In \(f(t)=S-\bigl(S-f(0)\bigr)\,e^{-kt}\) ist \(k>0\). Fehlt das Minus im Exponenten, wächst die Lücke und der Graph läuft von \(S\) weg.

Probe mit der Ableitung

Leite ab und vergleiche: \(f'(t)=k\,\bigl(S-f(0)\bigr)\,e^{-kt}\) muss gleich \(k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) sein.

S wird nie erreicht

Die Gleichung \(f(t)=S\) hat keine Lösung. Fragen wie „Wann ist die Limo 24 °C warm?“ beantwortet man mit „nie genau, nur beliebig nahe“.

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