Mit dem Zufall rechnen: Zusammenfassung – Mathe Klasse 13

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Tafel und Baum zeigen dieselben Daten — die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet nur eine Teilgruppe.

Vierfeldertafel

Innen die Schnitte, außen die Summen, in der Ecke 1.

P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A)

Baumdiagramm

1. Stufe = Rand der Tafel, Pfadende = inneres Feld.

P(A ∩ B) = P(A) · P_A(B)

Bedingung erkennen

„unter den …“, „von den …“, „falls …“ nennen die Bezugsgruppe.

P_A(B): Bedingung A, gesucht B

Bedingung umkehren

Pfade zu B addieren, dann den passenden Pfad durch P(B) teilen.

P_B(A) = P(A) · P_A(B) : P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P_A(B) = P(A ∩ B) : P(A)

Für P(A) > 0. Der Nenner ist die Bedingung, nicht die Gesamtzahl.

Index nicht vertauschen

P_S(F) (Trefferquote) und P_F(S) (Anteil echter Treffer) sind verschiedene Zahlen — oft sehr verschieden.

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Stochastische Unabhängigkeit

Unabhängig heißt: Das Ergebnis der einen Stufe verändert die Chancen der anderen nicht.

Mit Zurücklegen

Die Urne bleibt gleich — beide Stufen sind unabhängig.

3 rot, 2 blau: P(rr) = 3/5 · 3/5 = 0,36

Ohne Zurücklegen

Zähler und Nenner der 2. Stufe sinken — abhängig.

P(rr) = 3/5 · 2/4 = 0,30

Kausal oder stochastisch?

Abhängigkeit in Daten zeigt keine Ursache — Drittvariable prüfen.

kausal unabhängig ⇒ stochastisch unabhängig

Test im Baum

Die Äste zu B sind auf beiden Seiten gleich.

P_A(B) = P_A(B) = P(B)

Unabhängigkeit

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

In der Tafel: ein inneres Feld mit dem Produkt seiner Randwerte vergleichen.

Unabhängig ≠ unvereinbar

Unvereinbare Ereignisse (P(A ∩ B) = 0) mit positiven Wahrscheinlichkeiten sind abhängig.

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Zufallsgrößen und Kenngrößen

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu; Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben ihre Verteilung.

Verteilung

Jeder Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit, Summe 1.

P(X = x₁) + … + P(X = xₙ) = 1

Erwartungswert

Gewichtetes Mittel, Schwerpunkt des Histogramms.

μ = E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ)

Standardabweichung

Typischer Abstand vom Erwartungswert.

σ = √( Σ (xᵢ − μ)² · P(X = xᵢ) )

Faires Spiel

Reingewinn G = Auszahlung − Einsatz.

fair ⇔ E(G) = 0

Daten und Modell

x̄ ≈ μ und s̄ ≈ σ für große n

Relative Häufigkeiten nähern sich den Wahrscheinlichkeiten. GTR: x̄ und σx mit der Wahrscheinlichkeitsliste als Freq.

Deuten mit „im Mittel“

E(G) = −0,25 € heißt: auf lange Sicht pro Spiel durchschnittlich 25 Cent Verlust — nicht bei jedem Spiel.

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Das Modell der Bernoulli-Kette

Viele Zufallsexperimente lassen sich auf Treffer und Niete zurückführen — wenn p in jeder Stufe gleich bleibt.

Bernoulli-Experiment

Genau zwei Ergebnisse: Treffer mit p, Niete mit 1 − p.

Würfel, Treffer „6“: p = 1/6

Bernoulli-Kette

n unabhängige Wiederholungen mit gleichem p; 2ⁿ Pfade im Baum.

P(TNT) = p · (1 − p) · p

Zufallsgröße X

Zählt die Treffer, Werte 0, 1, …, n.

X: Anzahl der defekten unter 50 Lampen

Modell prüfen

Zwei Ergebnisse? n fest? p konstant? Ohne Zurücklegen nur Näherung bei großer Gesamtheit.

40 aus 5000: Näherung · 5 aus 26: nein

Parameter

X ~ B(n; p)

n: Anzahl der Durchführungen · p: Trefferwahrscheinlichkeit in einer Stufe (Dezimalzahl).

n ist nicht die Gesamtheit

Werden 50 von 2000 Lampen geprüft, ist n = 50. Die 2000 zeigen nur, dass sich p beim Ziehen kaum ändert.

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Wahrscheinlichkeiten berechnen

Aus Pfadzahl und Pfadwahrscheinlichkeit entsteht die Bernoulli-Formel; für Summen nutzt man den Rechner.

Bernoulli-Formel

Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

B(5; 0,2; 2) = 10 · 0,2² · 0,8³ = 0,2048

Binomialkoeffizient

(n über k) = n! : (k! · (n − k)!), GTR: nCr.

(6 über 2) = 15

Rechner

GTR: STAT › DIST › BINOMIAL › Bpd / Bcd. CAS: binomPdf(n,p,k), binomCdf(n,p,a,b).

binomPdf(20,0.3,6) ≈ 0,1916

Kumuliert übersetzen

Alles auf „höchstens“ zurückführen.

P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)

Bernoulli-Formel

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Die Exponenten ergeben zusammen n; die Säulen aller k ergeben zusammen 1.

Grenzen genau lesen

„Mehr als 9“ beginnt bei 10, „mindestens 9“ bei 9. Die gesuchte Menge der k-Werte vorher aufschreiben.

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Kenngrößen und Histogramme

Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben Lage und Breite des Histogramms; Simulationen machen die Verteilung sichtbar.

Erwartungswert

Schwerpunkt des Histogramms, mittlere Trefferzahl vieler Ketten.

μ = n · p

Standardabweichung

Typische Abweichung von μ; am größten bei p = 0,5.

σ = √(n · p · (1 − p))

Histogramm deuten

Gipfel bei μ; p = 0,5 symmetrisch, p und 1 − p spiegelbildlich.

größeres n: breiter und flacher

Modell prüfen

Zwei Ergebnisse, festes n, gleiches p, unabhängige Stufen.

ohne Zurücklegen: nur bei großer Gesamtheit

Kenngrößen

μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p))

Viele Simulationen: relative Häufigkeiten ≈ B(n; p; k), Mittelwert ≈ μ.

μ ist nicht sicher

μ = n · p ist der Mittelwert vieler Ketten — in einer einzelnen Kette tritt genau μ oft gar nicht ein.

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Worauf es in der Klausur ankommt

Diese drei Stellen kosten in der Klausur am häufigsten Punkte.

Bezugsgruppe benennen

Vor jeder Rechnung klären: Bezieht sich der Anteil auf alle oder auf eine Teilgruppe? Im Antwortsatz die Gruppe nennen.

Ansatz aufschreiben

Baum oder Tafel skizzieren, verwendete Formel hinschreiben, dann erst rechnen — der Ansatz bringt Punkte, auch wenn eine Zahl nicht stimmt.

Ergebnis deuten

Wahrscheinlichkeiten in Prozent und im Sachkontext formulieren, Erwartungswerte mit Einheit und „im Mittel“.