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Übungen: Vierfeldertafel und Baum

Eine Tafel, zwei Bäume — und jede Zahl hat ihren festen Platz.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was steht wo in der Tafel?
AFB I

Eine Vierfeldertafel ordnet alle Fälle nach den Merkmalen \(A\) und \(B\). Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen nie direkt in der Tafel — man bildet sie als Quotient „Feld : Rand“. Zusammen 1 ergeben nur \(P(A)+P(\overline A)\) bzw. \(P(B)+P(\overline B)\), nicht \(P(A)+P(B)\).
Frage: Was ist ein Schnitt, was eine Summe?Die Tafel enthält nur Anteile an allen Fällen — keine Anteile an Teilgruppen.
Hilfe: \(P(A)\) und \(P(B)\) gehören zu verschiedenen Merkmalen — ihre Summe hat keine feste Größe.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu Vierfeldertafel und Baum. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die Tafel kennt nur Anteile an allen Fällen, der Baum auf der 2. Stufe nur Anteile an Teilgruppen — dazwischen vermittelt die Pfadregel.
Frage: Worauf bezieht sich die Zahl — auf alle oder auf eine Gruppe?Genau daran unterscheiden sich Tafel und 2. Baumstufe.
Hilfe: Knotenregel: Alle Äste eines Knotens teilen dieselbe Gruppe auf.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe den Zusammenhang zwischen Tafel und Baum mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Äste der 1. Stufe eines Baums sind der Tafel. Jedes entspricht einem inneren Feld; man berechnet es mit der . Umgekehrt ist ein Randwert die zweier innerer Felder. Die Äste der 2. Stufe teilen nicht durch alle Fälle, sondern durch die am Astanfang.

„Gesamtzahl“ bleibt übrig: Durch die Gesamtzahl teilt man nur bei Randwerten und inneren Feldern — auf der 2. Stufe gerade nicht.
Idee: Gehe den Baum von links nach rechts durch.Erste Stufe, Pfadende, Rechenregel — in dieser Reihenfolge.
Hilfe: Ein Randwert entsteht durch Addieren, ein Pfadende durch Multiplizieren.
A4
Tafel ergänzen
AFB II

In einer Vierfeldertafel gilt \(P(A)=0{,}35\), \(P(B)=0{,}6\) und \(P(A\cap\overline B)=0{,}1\). Bestimme \(P(\overline A\cap\overline B)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Über die Spalte \(\overline B\): \(P(\overline B)=1-0{,}6=0{,}4\), also \(P(\overline A\cap\overline B)=0{,}4-0{,}1=0{,}3\). Häufiger Fehler: \(1-0{,}35-0{,}6\) rechnen — das mischt zwei verschiedene Merkmale.
Ansatz: Welche Zeile oder Spalte enthält \(A\cap\overline B\) und das gesuchte Feld?Beide liegen in der Spalte \(\overline B\).
Rechnung: Erst \(P(\overline B)\) bestimmen, dann das bekannte Feld abziehen.
A5
Baum oder Tafel?
AFB II

An einer Schule mit 800 Lernenden: \(O\) = Oberstufe (320), \(F\) = kommt mit dem Fahrrad; 96 Oberstufen- und 144 andere Lernende fahren Rad. Ordne jede Zahl zu, wo sie steht.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
11. Stufe (O zuerst)
22. Stufe (O zuerst)
3inneres Tafelfeld
1. Stufe: \(P(O)=\tfrac{320}{800}=0{,}4\), \(P(\overline O)=0{,}6\). 2. Stufe: \(P_O(F)=\tfrac{96}{320}=0{,}3\), \(P_O(\overline F)=0{,}7\) (bei \(\overline O\) ebenfalls \(\tfrac{144}{480}=0{,}3\)). Innen: \(\tfrac{96}{800}=0{,}12\), \(\tfrac{144}{800}=0{,}18\), \(\tfrac{224}{800}=0{,}28\), \(\tfrac{336}{800}=0{,}42\).
Ansatz: Stelle zuerst die Tafel mit Anzahlen auf.Aus den Anzahlen entstehen alle Werte durch einfaches Teilen.
Hilfe: Teilst du durch 800, landest du in der Tafel; teilst du durch 320 oder 480, auf der 2. Stufe.
A6
Rechenkette: vom Baum zur Tafel
AFB II

Ein Baum hat die 1. Stufe \(P(A)=0{,}3\) und die Äste \(P_A(B)=0{,}6\) sowie \(P_{\overline A}(B)=0{,}2\). Berechne die Tafel Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(P(A\cap B)\)
  2. \(P(\overline A\cap B)\)
  3. \(P(B)\)
  4. \(P(\overline A\cap\overline B)\)
Pfadregel für die Felder (\(0{,}3\cdot0{,}6\), \(0{,}7\cdot0{,}2\)), Summe für den Rand. Letztes Feld: \(0{,}7\cdot0{,}8=0{,}56\) oder \(1-0{,}18-0{,}14-0{,}12\).
Ansatz: Jedes innere Feld ist ein Pfad: 1. Ast mal 2. Ast.Pfadregel \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\).
Hilfe: \(P(\overline A)=0{,}7\) und \(P_{\overline A}(\overline B)=0{,}8\).
A7
Tafelwert und Rechenweg
AFB II Mix

Tafel mit \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}55\), \(P(A\cap B)=0{,}1\). Ermittle zu jeder Größe ihren Wert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Ein inneres Feld ist Rand minus Nachbarfeld; eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist Feld durch Rand: \(P_A(B)=\tfrac{0{,}1}{0{,}4}\), \(P_B(A)=\tfrac{0{,}1}{0{,}55}\). Wer \(P_A(B)\) und \(P_B(A)\) vertauscht, landet beim falschen Nenner.
Ansatz: Fülle zuerst die ganze Tafel aus.Dann ist jede gesuchte Größe ein Feld oder ein Quotient aus Feld und Rand.
Hilfe: \(P(\overline A)=0{,}6\), \(P(\overline B)=0{,}45\).
A8
Den zweiten Baum bauen
AFB III

Aus der Tafel zur Schule (A5) soll der Baum mit \(F\) als erster Stufe entstehen. Entwickle die Reihenfolge der Arbeitsschritte.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Randwerte der Spalten ablesen: \(P(F)=0{,}3\), \(P(\overline F)=0{,}7\)
21. Stufe beschriften: \(F\) und \(\overline F\)
3Inneres Feld \(P(F\cap O)=0{,}12\) suchen
4Durch den Rand teilen: \(P_F(O)=\tfrac{0{,}12}{0{,}3}=0{,}4\)
5Gegenast ergänzen: \(P_F(\overline O)=0{,}6\)
Am häufigsten rutscht das Teilen nach vorn: \(0{,}12\) ist das Pfadende, nicht der Ast. Erst nach der Division durch \(P(F)\) steht der Ast fest.
Frage: Was braucht man, bevor man einen Ast der 2. Stufe berechnen kann?Den Wert der 1. Stufe als Nenner.
Hilfe: Reihenfolge: 1. Stufe — Feld — teilen — ergänzen.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB III

Sechs Sätze aus einem Heft zur Tafel mit \(P(A)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}08\). Überprüfe sie — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Verwechslung von \(P_A(B)\) und \(P_B(A)\) (Zeile 6) kostet in Klausuren die meisten Punkte: Der Nenner ist immer die Bedingung.
Strategie: Fülle die Tafel selbst aus und vergleiche Zeile für Zeile.Dann ist jeder Fehler eine Abweichung von deiner Tafel.
Hilfe: Zeile 5: \(P_{\overline A}(B)=\tfrac{0{,}42}{0{,}8}=0{,}525\).
A10
Trickaufgabe — schätzen statt rechnen
AFB III

Von 1000 Personen tragen 300 eine Brille (\(B\)), 200 sind über 60 (\(Ü\)), 150 sind beides. Schätze jeden Wert ab, ohne genau zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,4, 3 = 0,4 bis 0,6, 4 = 0,6 bis 0,8, 5 = über 0,8. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 0,25 = über 0,8
\(P(B\cap Ü)\)
\(P_Ü(B)\)
\(P_B(Ü)\)
\(P(\overline B\cap\overline Ü)\)
\(P_{\overline Ü}(\overline B)\)
\(P(B\cap Ü)=0{,}15\), aber \(P_Ü(B)=\tfrac{150}{200}=0{,}75\) — die Falle: Dieselben 150 Personen sind in der kleinen Gruppe der über 60-Jährigen ein großer Anteil. \(P_B(Ü)=\tfrac{150}{300}=0{,}5\), \(P(\overline B\cap\overline Ü)=\tfrac{650}{1000}=0{,}65\), \(P_{\overline Ü}(\overline B)=\tfrac{650}{800}\approx0{,}81\).
Ansatz: Ergänze erst die Anzahlen: nur Brille 150, nur über 60: 50, keins von beiden 650.Mit Anzahlen sieht man jeden Anteil sofort als Bruch.
Hilfe: Bedingt heißt: Nenner ist die Gruppe (200, 300 oder 800), nicht 1000.