Musik und Serien im Abo
AFB I–IIIn einer Umfrage unter 240 Schülerinnen und Schülern der Oberstufe gaben 150 an, ein Musik-Abo zu haben (\(M\)). 130 haben ein Video-Abo (\(V\)), 90 haben beide Abos.
- Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit Anzahlen und eine mit relativen Häufigkeiten.
- Zeichnen Sie das Baumdiagramm mit \(M\) als erster Stufe und beschriften Sie alle Äste.
- Geben Sie an, wie groß der Anteil der Befragten ist, die keines der beiden Abos haben.
- Interpretieren Sie den Wert \(P_M(V)\) im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anzahlen: \(M\cap V=90\), \(M\cap\overline V=60\), \(\overline M\cap V=40\), \(\overline M\cap\overline V=50\); Ränder \(M=150\), \(\overline M=90\), \(V=130\), \(\overline V=110\), gesamt 240.
Relativ (auf vier Stellen): \(0{,}375;\ 0{,}25;\ 0{,}1667;\ 0{,}2083\); Ränder \(0{,}625;\ 0{,}375;\ 0{,}5417;\ 0{,}4583\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
1. Stufe: \(P(M)=0{,}625\), \(P(\overline M)=0{,}375\).
2. Stufe: \(P_M(V)=\tfrac{90}{150}=0{,}6\), \(P_M(\overline V)=0{,}4\), \(P_{\overline M}(V)=\tfrac{40}{90}\approx0{,}444\), \(P_{\overline M}(\overline V)\approx0{,}556\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(\overline M\cap\overline V)=\tfrac{50}{240}\approx0{,}208\), also knapp 21 % der Befragten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(P_M(V)=0{,}6\): 60 % der Befragten mit Musik-Abo haben auch ein Video-Abo. Der Wert bezieht sich nur auf die 150 Musik-Abonnenten, nicht auf alle 240.
E-Bikes in der Stadt
AFB II–IIIEine Stadt befragt ihre erwachsenen Einwohner zum Verkehr. 35 % nutzen regelmäßig ein E-Bike (\(E\)). Von den E-Bike-Nutzern sind 40 % älter als 60 Jahre (\(Ü\)). Insgesamt sind 30 % der Befragten älter als 60.
Die Lokalzeitung titelt: „Die meisten über 60-Jährigen fahren inzwischen E-Bike.“
- Bestimmen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.
- Stellen Sie die Vierfeldertafel auf und ermitteln Sie daraus den Anteil der E-Bike-Nutzer unter den über 60-Jährigen.
- Beurteilen Sie die Schlagzeile der Lokalzeitung.
- Vergleichen Sie den E-Bike-Anteil unter den über 60-Jährigen mit dem unter den höchstens 60-Jährigen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(E\cap Ü)=0{,}35\cdot0{,}4=0{,}14\), \(P_E(\overline Ü)=0{,}6\).
\(P(\overline E\cap Ü)=0{,}30-0{,}14=0{,}16\), also \(P_{\overline E}(Ü)=\tfrac{0{,}16}{0{,}65}\approx0{,}246\) und \(P_{\overline E}(\overline Ü)\approx0{,}754\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Tafel: \(E\cap Ü=0{,}14\), \(E\cap\overline Ü=0{,}21\), \(\overline E\cap Ü=0{,}16\), \(\overline E\cap\overline Ü=0{,}49\); Ränder \(0{,}35;\ 0{,}65;\ 0{,}30;\ 0{,}70\).
\(P_Ü(E)=\tfrac{0{,}14}{0{,}30}\approx0{,}467\): Knapp 47 % der über 60-Jährigen fahren E-Bike.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Schlagzeile ist falsch: Unter den über 60-Jährigen nutzen nur etwa 47 % ein E-Bike, also weniger als die Hälfte. Vermutlich wurde \(P_E(Ü)=0{,}4\) oder die hohe Zahl älterer E-Bike-Fahrer mit dem Anteil unter den Älteren verwechselt.
Richtig wäre: „Fast die Hälfte der über 60-Jährigen fährt E-Bike“ — und damit deutlich mehr als bei den Jüngeren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(P_{\overline Ü}(E)=\tfrac{0{,}21}{0{,}70}=0{,}3\). Unter den über 60-Jährigen ist der E-Bike-Anteil mit rund 47 % deutlich höher als unter den Jüngeren mit 30 %.