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Übung — AFB II (Zusammenhänge)

Zehn Aufgaben mit Sachkontext — hier müssen Tafel, Baum, Kenngrößen und Binomialverteilung zusammenspielen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen: Baum umkehren, Unabhängigkeit prüfen, Spiele bewerten, Bernoulli-Ketten auswerten. Die Tipps stufen den Weg ab.

A1
Ausschuss aus zwei Maschinen
AFB II

Maschine M1 fertigt 70 % der Teile, Maschine M2 den Rest. M1 produziert 2 % Ausschuss, M2 5 %.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Teil Ausschuss ist. b) Ein Teil ist Ausschuss. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von M2 stammt.

Ansatz: Baum: erste Stufe Maschine, zweite Stufe Ausschuss \(A\).
Rechenweg: \(0{,}7\cdot0{,}02=0{,}014\), \(0{,}3\cdot0{,}05=0{,}015\); b) \(\tfrac{0{,}015}{0{,}029}\).
Lösung: a) 0,029 b) ≈ 0,52
Vollständige Lösung
a) \(P(A)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\). b) \(P_A(M2)=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}\approx0{,}52\). Obwohl M2 nur 30 % fertigt, stammt über die Hälfte des Ausschusses von M2.
A2
Kaffee und Frühaufsteher
AFB II

Von 200 Befragten trinken 120 morgens Kaffee (\(K\)), 80 sind Frühaufsteher (\(F\)), 48 sind beides.

a) Berechne \(P_F(K)\). b) Berechne \(P(K)\). c) Gib \(P(K)\cdot P(F)\) an und entscheide, ob \(K\) und \(F\) unabhängig sind.

Ansatz: Anteil der Kaffeetrinker unter den Frühaufstehern mit dem Anteil unter allen vergleichen.
Rechenweg: \(\tfrac{48}{80}\), \(\tfrac{120}{200}\), \(0{,}6\cdot0{,}4\) und mit \(P(K\cap F)=\tfrac{48}{200}\) vergleichen.
Lösung: a) 0,6 b) 0,6 c) 0,24 = P(K ∩ F) → unabhängig
Vollständige Lösung
\(P_F(K)=\tfrac{48}{80}=0{,}6=P(K)\). Außerdem \(P(K)\cdot P(F)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24=\tfrac{48}{200}=P(K\cap F)\). Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.
A3
Zwei gleiche Farben
AFB II

Eine Urne enthält 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezogen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Farben ohne Zurücklegen. b) Berechne sie mit Zurücklegen.

Ansatz: „gleiche Farbe“ = rot-rot oder grün-grün; beide Pfade addieren.
Rechenweg: ohne: \(\tfrac38\cdot\tfrac27+\tfrac58\cdot\tfrac47\); mit: \(\left(\tfrac38\right)^2+\left(\tfrac58\right)^2\).
Lösung: a) 26/56 ≈ 0,46 b) 34/64 ≈ 0,53
Vollständige Lösung
a) \(\tfrac{6}{56}+\tfrac{20}{56}=\tfrac{26}{56}\approx0{,}46\). b) \(\tfrac{9}{64}+\tfrac{25}{64}=\tfrac{34}{64}\approx0{,}53\). Ohne Zurücklegen sinkt die Chance auf gleiche Farben.
A4
Fairer Einsatz
AFB II

Zwei Würfel werden geworfen. Bei der Augensumme 7 erhält man 5 €, bei einem Pasch 2 €, sonst nichts.

a) Gib die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 an. b) Berechne den Einsatz, bei dem das Spiel fair ist (auf Cent gerundet).

€
Ansatz: Fair heißt: Einsatz = erwartete Auszahlung.
Rechenweg: Summe 7: 6 von 36 Paaren; Pasch: 6 von 36. \(E(A)=5\cdot\tfrac16+2\cdot\tfrac16\).
Lösung: a) 1/6 b) 7/6 € ≈ 1,17 €
Vollständige Lösung
a) (1|6), (2|5), …, (6|1): \(\tfrac{6}{36}=\tfrac16\). b) \(E(A)=\tfrac56+\tfrac26=\tfrac76\approx1{,}17\) €. Bei diesem Einsatz ist \(E(G)=0\).
A5
Fehlende Äste
AFB II

Es gilt \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) und \(P_A(B)=0{,}8\).

a) Berechne \(P_{\overline A}(B)\). b) Berechne \(P_B(A)\).

Ansatz: Erst \(P(A\cap B)\), dann \(P(\overline A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\).
Rechenweg: \(P(A\cap B)=0{,}32\); \(P(\overline A\cap B)=0{,}18\); \(P_{\overline A}(B)=\tfrac{0{,}18}{0{,}6}\).
Lösung: a) 0,3 b) 0,64
Vollständige Lösung
\(P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}8=0{,}32\). a) \(P_{\overline A}(B)=\tfrac{0{,}5-0{,}32}{0{,}6}=0{,}3\). b) \(P_B(A)=\tfrac{0{,}32}{0{,}5}=0{,}64\).
A6
Raten im Test
AFB II

Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Tim kreuzt bei jeder Frage zufällig an.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige Antworten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 richtige Antworten (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: X: Anzahl richtiger Antworten, n = 10, p = 0,25.
Rechenweg: a) Bpd mit x = 3; b) 1 − P(X ≤ 4) oder Bcd mit Lower 5, Upper 10.
Lösung: a) 0,2503 b) 0,0781
Vollständige Lösung
X ~ B(10; 0,25). a) P(X = 3) = (10 über 3) · 0,25³ · 0,75⁷ ≈ 0,2503. b) P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0,9219 = 0,0781. Mit Raten die Hälfte zu schaffen, gelingt also nur in etwa 8 % der Fälle.
A7
Keimende Samen
AFB II

Laut Packung keimen 90 % der Samen. Es werden 20 Samen ausgesät.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 16 keimen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass 17 bis 19 keimen (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: X: Anzahl keimender Samen, n = 20, p = 0,9.
Rechenweg: a) Bcd Lower 0, Upper 16. b) Bcd Lower 17, Upper 19.
Lösung: a) 0,1330 b) 0,7455
Vollständige Lösung
a) P(X ≤ 16) ≈ 0,1330. b) P(17 ≤ X ≤ 19) = P(X ≤ 19) − P(X ≤ 16) ≈ 0,8784 − 0,1330 = 0,7455.
A8
Warten auf die Sechs
AFB II

Ein fairer Würfel wird geworfen. Treffer ist die Sechs.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs bei 10 Würfen (vier Nachkommastellen). b) Wie oft muss man mindestens werfen, damit diese Wahrscheinlichkeit über 90 % liegt?

Ansatz: Gegenereignis „keine Sechs“: (5/6)ⁿ.
Rechenweg: a) 1 − (5/6)¹⁰. b) 1 − (5/6)ⁿ > 0,9 ⇔ (5/6)ⁿ < 0,1; Werte für n = 12, 13 testen.
Lösung: a) 0,8385 b) 13
Vollständige Lösung
a) 1 − (5/6)¹⁰ ≈ 0,8385. b) (5/6)¹² ≈ 0,112 > 0,1, aber (5/6)¹³ ≈ 0,093 < 0,1. Also sind mindestens 13 Würfe nötig.
A9
Histogramm rückwärts
AFB II

Das Histogramm einer Binomialverteilung mit n = 40 hat seine höchste Säule bei k = 12, der Erwartungswert ist ganzzahlig.

a) Bestimme p. b) Berechne σ (zwei Nachkommastellen).

Ansatz: Das Maximum liegt beim ganzzahligen μ = n · p.
Rechenweg: a) 12 = 40 · p. b) σ = √(40 · 0,3 · 0,7).
Lösung: a) 0,3 b) 2,90
Vollständige Lösung
a) p = 12 : 40 = 0,3. b) σ = √(40 · 0,3 · 0,7) = √8,4 ≈ 2,90.
A10
Pünktlicher Bus
AFB II

Ein Bus ist mit Wahrscheinlichkeit 0,8 pünktlich. Lea fährt an 5 Tagen der Woche.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er an genau 4 Tagen pünktlich ist. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er an allen 5 Tagen pünktlich ist (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: n = 5, p = 0,8, Tage als unabhängig angenommen.
Rechenweg: a) 5 · 0,8⁴ · 0,2. b) 0,8⁵.
Lösung: a) 0,4096 b) 0,3277
Vollständige Lösung
a) (5 über 4) · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096. b) 0,8⁵ ≈ 0,3277. Modellannahme: Die Pünktlichkeit an verschiedenen Tagen ist unabhängig.