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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben von der Vierfeldertafel bis zur Binomialverteilung — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Tafel, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Kenngrößen und Bernoulli-Formel.

A1
Vierfeldertafel ergänzen
AFB I

In einer Vierfeldertafel gilt \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}4\) und \(P(A\cap B)=0{,}1\). Berechne \(P(\overline A\cap\overline B)\).

Tafel: Erst \(P(A\cap\overline B)=0{,}2\) und \(P(\overline A)=0{,}7\), dann Zeile \(\overline A\) auffüllen.
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\(P(\overline A\cap B)=0{,}4-0{,}1=0{,}3\), also \(P(\overline A\cap\overline B)=0{,}7-0{,}3\) = 0,4
A2
Formel der bedingten W.
AFB I

Es gilt \(P(A\cap B)=0{,}12\) und \(P(A)=0{,}4\). Berechne \(P_A(B)\).

Formel: \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).
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\(\dfrac{0{,}12}{0{,}4}\) = 0,3
A3
Unabhängige Ereignisse
AFB I

\(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig mit \(P(A)=0{,}5\) und \(P(B)=0{,}3\). Berechne \(P(A\cap B)\).

Produktregel: Bei Unabhängigkeit gilt \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
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\(0{,}5\cdot0{,}3\) = 0,15
A4
Erwartungswert
AFB I

\(X\) nimmt die Werte 0, 2 und 10 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5; 0,3 und 0,2 an. Berechne \(E(X)\).

Formel: \(E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)\).
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\(0\cdot0{,}5+2\cdot0{,}3+10\cdot0{,}2=0+0{,}6+2\) = 2,6
A5
Standardabweichung
AFB I

\(X\) nimmt die Werte 1 und 5 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 an. Berechne die Standardabweichung \(\sigma\).

Schritte: \(\mu\) berechnen, Abweichungen quadrieren, gewichten, addieren, Wurzel ziehen.
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\(\mu=3\); \(V(X)=(1-3)^2\cdot0{,}5+(5-3)^2\cdot0{,}5=4\); \(\sigma=\sqrt4\) = 2
A6
Binomialkoeffizient
AFB I

Berechne den Binomialkoeffizienten (6 über 2).

Formel: (n über k) = n! : (k! · (n − k)!); GTR: 6 nCr 2.
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6! : (2! · 4!) = 720 : 48 = 15
A7
Genau k Treffer
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,2. Berechne P(X = 2).

Bernoulli-Formel: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
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10 · 0,2² · 0,8³ = 10 · 0,04 · 0,512 = 0,2048
A8
Höchstens
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,1. Berechne P(X ≤ 2) auf vier Nachkommastellen.

Kumuliert: GTR Bcd mit Lower 0, Upper 2.
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B(10; 0,1; 0) + B(10; 0,1; 1) + B(10; 0,1; 2) = 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 ≈ 0,9298
A9
Mindestens einer
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25. Berechne P(X ≥ 1) auf vier Nachkommastellen.

Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
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1 − 0,75⁸ = 1 − 0,1001 ≈ 0,8999
A10
Erwartungswert n · p
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 40 und p = 0,15. Berechne den Erwartungswert.

Erwartungswert: μ = n · p.
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40 · 0,15 = 6