Stochastische Unabhängigkeit: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Was heißt unabhängig?

AFB I

Es geht um zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) mit \(0\lt P(A)\lt 1\) und \(0\lt P(B)\lt 1\). Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Die häufigste Verwechslung: unabhängig und unvereinbar. Unvereinbare Ereignisse haben \(P(A\cap B)=0\ne P(A)\cdot P(B)\) — sie sind sogar stark abhängig: Tritt \(A\) ein, ist \(B\) ausgeschlossen. Die Pfadregel gilt immer; nur bei Unabhängigkeit darf man den Ast durch \(P(B)\) ersetzen.

Frage: Ändert das Eintreten von \(A\) etwas an der Chance für \(B\)?Unabhängig heißt: nein.

Hilfe: Bei unvereinbaren Ereignissen ändert \(A\) die Chance für \(B\) auf null.

A2

Stimmt's? — Unabhängigkeit testen

AFB I

Fünf Behauptungen, jeweils mit Zahlen. Entscheide jeweils, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Du hast zwei Tests: Produktregel \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) oder gleiche Äste \(P_A(B)=P_{\overline A}(B)=P(B)\). Typischer Fehler: \(P(A\cap B)\) mit \(P(A)+P(B)\) oder mit einem der Randwerte vergleichen.

Frage: Welche der beiden Testformen passt zu den gegebenen Zahlen?Schnitt gegeben → Produktregel; Äste gegeben → vergleichen.

Hilfe: Ohne Zurücklegen ändert der erste Zug den Inhalt der Schale.

A3

Paketdienst

AFB I

Bei einem Paketdienst sind 35 % der Pakete schwerer als 5 kg (\(S\)), 60 % werden vormittags zugestellt (\(V\)). Die Erfahrung zeigt, dass \(S\) und \(V\) unabhängig sind. Berechne \(P(S\cap V)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Bei Unabhängigkeit gilt \(P(S\cap V)=P(S)\cdot P(V)=0{,}35\cdot0{,}6=0{,}21\). Häufiger Fehler: \(0{,}35+0{,}6\) oder \(\min(0{,}35;0{,}6)\) — die Summe gehört zu „oder“, nicht zu „und“.

Ansatz: Was darf man bei Unabhängigkeit mit dem Ast \(P_S(V)\) machen?Man ersetzt ihn durch \(P(V)\).

Hilfe: Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten.

A4

Lückentext: drei Blicke auf Unabhängigkeit

AFB II

Erkläre stochastische Unabhängigkeit, indem du den Lückentext füllst — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn die \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gilt. Im Baum erkennt man das an gleichen zu \(B\) auf der 2. Stufe. In der Vierfeldertafel vergleicht man ein inneres Feld mit dem seiner Randwerte. Sind \(A\) und \(B\) unabhängig, dann auch \(A\) und . Unvereinbare Ereignisse mit positiven Wahrscheinlichkeiten sind dagegen stets .

„Summe“ bleibt übrig: Randwerte entstehen als Summe, aber getestet wird mit dem Produkt. Die letzte Lücke ist die Stolperfalle — viele setzen „unabhängig“, weil unvereinbare Ereignisse „nichts miteinander zu tun haben“.

Idee: Formel — Baum — Tafel — Gegenereignis — Grenzfall.So ist der Text aufgebaut.

Hilfe: Unvereinbar: \(P(A\cap B)=0\), aber \(P(A)\cdot P(B)>0\).

A5

Unabhängig oder abhängig?

AFB II Mix

Untersuche jede Situation und lege die Karte in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1unabhängig

2abhängig

Kaffee: \(0{,}4\cdot0{,}25=0{,}1=\tfrac{20}{200}\). Dritte Karte: \(P(A\cap B)=0{,}4-0{,}28=0{,}12=0{,}4\cdot0{,}3\). Schwierig ist die unvereinbare Karte — sie gehört zu „abhängig“. Und wer die Tafelkarte nicht erst ergänzt, vergleicht \(0{,}28\) mit \(0{,}12\) und sortiert falsch.

Ansatz: Bringe jede Karte auf die Form „Schnitt gegen Produkt“ oder „Ast gegen Ast“.Bei Anzahlen erst relative Häufigkeiten bilden.

Hilfe: Aus \(P(A\cap\overline B)\) und \(P(A)\) folgt \(P(A\cap B)\) — wie in der Vierfeldertafel.

A6

Pizzadienst: Tafel bei Unabhängigkeit

AFB II

Bei einem Pizzadienst kommen 25 % der Bestellungen über die App (\(A\)), 60 % aller Bestellungen enthalten Extra-Käse (\(K\)). \(A\) und \(K\) sind unabhängig. Bestimme die inneren Felder der Vierfeldertafel:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(P(A\cap K)\)
\(P(A\cap\overline K)\)
\(P(\overline A\cap K)\)
\(P(\overline A\cap\overline K)\)

Mit der Produktregel: \(0{,}25\cdot0{,}6\), \(0{,}25\cdot0{,}4\), \(0{,}75\cdot0{,}6\), \(0{,}75\cdot0{,}4\). Das geht, weil mit \(A,K\) auch \(A,\overline K\) usw. unabhängig sind. Häufiger Fehler: im letzten Feld \(1-0{,}25-0{,}6\) rechnen.

Ansatz: Jedes innere Feld ist das Produkt seiner Randwerte.Das gilt nur, weil die Ereignisse unabhängig sind.

Hilfe: \(P(\overline A)=0{,}75\), \(P(\overline K)=0{,}4\).

A7

Der fehlende Wert

AFB II

In jeder Zeile sind \(A\) und \(B\) unabhängig. Ordne jeder Angabe den gesuchten Wert zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Die Produktregel funktioniert in beide Richtungen: \(P(B)=\tfrac{0{,}12}{0{,}3}=0{,}4\). Bei \(P_A(B)\) braucht man gar nicht zu rechnen — bei Unabhängigkeit ist es \(P(B)\). Wer bei der letzten Zeile \(0{,}8\cdot0{,}3\) rechnet, übersieht das \(\overline B\).

Ansatz: Schreibe die Produktregel für das gesuchte Feld auf.Gegenereignisse: erst \(1-P\) bilden.

Hilfe: \(P(\overline B)=0{,}7\), also \(0{,}8\cdot0{,}7\).

A8

Ein Prüfweg aus Umfragedaten

AFB III

Von 500 Befragten sind 125 im Sommer geboren (\(S\)), 60 sind Linkshänder (\(L\)), 15 sind beides. Entwickle einen vollständigen Prüfweg für die Unabhängigkeit von \(S\) und \(L\), indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Relative Häufigkeiten bilden: \(P(S)=0{,}25\), \(P(L)=0{,}12\)

2Schnitt bestimmen: \(P(S\cap L)=\tfrac{15}{500}=0{,}03\)

3Produkt berechnen: \(0{,}25\cdot0{,}12=0{,}03\)

4Vergleichen: Schnitt und Produkt stimmen überein

5Folgern: \(S\) und \(L\) sind stochastisch unabhängig — Sommerkinder sind genauso oft Linkshänder wie alle anderen

Oft wird mit den Anzahlen 15 und \(125\cdot60\) verglichen — das passt nicht zusammen. Erst relative Häufigkeiten, dann vergleichen. Und das Ergebnis muss im Sachzusammenhang gedeutet werden.

Frage: Womit wird der Schnitt verglichen?Mit dem Produkt der beiden Randwerte — beides als relative Häufigkeit.

Hilfe: Bilden — Schnitt — Produkt — Vergleich — Folgerung.

A9

Fehlersuche in einer Hausaufgabe

AFB III

Gegeben: \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\), \(P(A\cap B)=0{,}18\). Überprüfe die Hausaufgabe — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 verwechselt Äste verschiedener Knoten: zu 1 ergänzen sich \(P_{\overline A}(B)\) und \(P_{\overline A}(\overline B)\). Zeile 6 ist die bekannte Verwechslung von unabhängig und unvereinbar.

Strategie: Fülle die Vierfeldertafel vollständig aus.Dann prüfst du jede Zeile mit echten Zahlen.

Hilfe: \(P(\overline A\cap B)=0{,}42\), \(P(\overline A\cap\overline B)=0{,}28\).

A10

Trickaufgabe — unvereinbar ist nicht unabhängig

AFB III

Schätze für jede Situation ab, wie \(P_A(B)\) im Vergleich zu \(P(B)\) liegt. „Etwas“ bedeutet: Unterschied kleiner als 0,05.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = deutlich kleiner, 2 = etwas kleiner, 3 = gleich, 4 = etwas größer, 5 = deutlich größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = deutlich kleiner5 = deutlich größer

Eine Karte aus 32 Skatkarten: \(A\) = Herz, \(B\) = Kreuz

Aus 1000 Losen mit 100 Gewinnen zwei ohne Zurücklegen: \(A\) = 1. Los gewinnt, \(B\) = 2. Los gewinnt

Zwei getrennte Glücksräder: \(A\) = Rad 1 zeigt Rot, \(B\) = Rad 2 zeigt Rot

\(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}21\)

Eine Karte aus 32 Skatkarten: \(A\) = rote Karte, \(B\) = Herz

Die Falle steckt in Zeile 1: Herz und Kreuz „haben nichts miteinander zu tun“, sind aber unvereinbar — \(P_A(B)=0\) gegenüber \(P(B)=0{,}25\), also maximal abhängig. Dagegen ist Zeile 2 fast unabhängig: \(\tfrac{99}{999}\approx0{,}0991\) gegenüber \(0{,}1\). Zeile 4: \(\tfrac{0{,}21}{0{,}5}=0{,}42\); Zeile 5: \(\tfrac{8}{16}=0{,}5\) gegenüber \(0{,}25\).

Ansatz: Frage jeweils: Ändert das Wissen um \(A\) die Chance für \(B\) — und wie stark?Bei vielen Losen ändert ein Zug kaum etwas.

Hilfe: Wenn eine Karte Herz ist, kann sie nicht Kreuz sein.

Übungen: Stochastische Unabhängigkeit

Übungsaufgaben