Garantie und Kartenzahlung
AFB I–IIEin Elektronikmarkt wertet 400 Einkäufe aus. Bei 60 Einkäufen wurde eine Garantieverlängerung abgeschlossen (\(G\)). 320 Einkäufe wurden mit Karte bezahlt (\(K\)), darunter 48 mit Garantieverlängerung.
- Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten.
- Zeigen Sie, dass die Ereignisse \(G\) und \(K\) stochastisch unabhängig sind.
- Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Anteil der Garantieverlängerungen unter den Barzahlern ebenfalls 15 % beträgt.
- Interpretieren Sie die Unabhängigkeit von \(G\) und \(K\) im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anzahlen: \(G\cap K=48\), \(G\cap\overline K=12\), \(\overline G\cap K=272\), \(\overline G\cap\overline K=68\).
Relativ: \(0{,}12;\ 0{,}03;\ 0{,}68;\ 0{,}17\); Ränder \(P(G)=0{,}15\), \(P(\overline G)=0{,}85\), \(P(K)=0{,}8\), \(P(\overline K)=0{,}2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(G)\cdot P(K)=0{,}15\cdot0{,}8=0{,}12=P(G\cap K)\). Die Produktregel ist erfüllt, \(G\) und \(K\) sind stochastisch unabhängig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit \(G\) und \(K\) sind auch \(G\) und \(\overline K\) unabhängig. Also gilt \(P_{\overline K}(G)=P(G)=0{,}15\). (Kontrolle: \(\tfrac{12}{80}=0{,}15\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Zahlungsart hängt statistisch nicht mit dem Abschluss einer Garantieverlängerung zusammen: Kartenzahler und Barzahler schließen gleich häufig (je 15 %) eine Garantieverlängerung ab.
Versandart und Reklamationen
AFB II–IIIEin Onlinehändler verschickt 40 % seiner Bestellungen per Express (\(E\)), die übrigen per Standardversand. Von den Express-Bestellungen werden 5 % reklamiert (\(R\)). Der Reklamationsanteil beim Standardversand wird mit \(p\) bezeichnet.
- Bestimmen Sie \(p\) so, dass \(E\) und \(R\) stochastisch unabhängig sind, und geben Sie für diesen Fall \(P(R)\) an.
- Tatsächlich gilt \(p=0{,}03\). Weisen Sie mit der Produktregel nach, dass \(E\) und \(R\) dann abhängig sind.
- Berechnen Sie für \(p=0{,}03\) den Anteil der Express-Bestellungen unter den reklamierten Bestellungen und vergleichen Sie ihn mit \(P(E)\).
- Der Logistikleiter meint: „Nur 2 % aller Bestellungen sind reklamierte Express-Sendungen. Für die Reklamationen spielt die Versandart also praktisch keine Rolle.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Unabhängigkeit bedeutet \(P_E(R)=P_{\overline E}(R)\), also \(p=0{,}05\).
Dann ist \(P(R)=0{,}4\cdot0{,}05+0{,}6\cdot0{,}05=0{,}05\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(E\cap R)=0{,}4\cdot0{,}05=0{,}02\), \(P(\overline E\cap R)=0{,}6\cdot0{,}03=0{,}018\), \(P(R)=0{,}038\).
\(P(E)\cdot P(R)=0{,}4\cdot0{,}038=0{,}0152\ne0{,}02=P(E\cap R)\). Also sind \(E\) und \(R\) stochastisch abhängig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P_R(E)=\dfrac{0{,}02}{0{,}038}\approx0{,}526\).
Unter den reklamierten Bestellungen sind knapp 53 % Express-Sendungen, obwohl Express nur 40 % aller Bestellungen ausmacht. Express ist unter den Reklamationen also überrepräsentiert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Zahl 2 % ist der Schnitt \(P(E\cap R)\); er ist klein, weil Reklamationen insgesamt selten sind. Über einen Zusammenhang sagt er allein nichts aus.
Entscheidend ist der Vergleich der bedingten Wahrscheinlichkeiten: Express-Bestellungen werden zu 5 % reklamiert, Standard-Bestellungen zu 3 % — das ist relativ gesehen um zwei Drittel mehr. Die Ereignisse sind abhängig (siehe b)).
Urteil: Die Aussage ist nicht haltbar; die Versandart hängt statistisch mit der Reklamationsquote zusammen. Man kann einwenden, dass der absolute Unterschied von 2 Prozentpunkten klein ist — ob er für den Händler wirtschaftlich bedeutsam ist, hängt von den Kosten einer Reklamation ab.